§29.3圆内 Poisson方程第一边值问题的 Green函数 第8页 这样,就求得了圆内 Poisson方程第一边值问题的 Green函数,当r<r Gr-2{m÷+()-()m 当r>r时 G(r;7)=-~1 cos m(o-o) 上面这种方法,将 Green函数按相应齐次问题的本征函数展开,一般说来,得到的 解式会是无穷级数.当然,不排除在某些特殊情形下可以将级数求和.例如,现在得到 的解式就是如此.不过,这需要比较熟悉级数求和的技巧 下面再介绍一种方法,它将直接给出解的有限形式 大家知道,一且在接地圆中放上点电荷后,在圆周上必然出现感生电荷,圆内任意一点的电 势,就是点电荷的电势和感生电荷的电势的叠加.前者在点电荷所在点是对数发散的,而后者在 圆内是处处连续的.如果我们能够方便地求出感生电荷在圆内所产生的电势,当然也就求出了整 个圆内 Poisson方程第一边值问题的Gren函数 现在要介绍的这种方法(称为电像法),其基本思想是 ·将边界上的感生电荷用一个等价的点电荷代替 ·换句话说,就把接地圆内的点电荷的问题等价地转化为 无界空间中的两个点电荷(一个是真实的点电荷,另 个是等价的“虚”电荷)的问题 ·这个“虚”电荷的等价性,就表现在它和圆内的真实的 点电荷一起,在圆内能给出和原来问题同样的解 图29.1电像法 ·只要圆内的电荷分布不变,只要这两个点电荷也能产生出圆周r=a接地(电势为0)的效 果,边值问题解的存在唯一性,就能保证这样得到的解和原来问题的解在圆内一定一致 ·可以明确地预见到,这个等价电荷如果存在的话,它一定位于圆外,否则圆内的电荷分布就 和原来的问题不同,就不能保证等价性.或者换一种说法,由于感生电荷的电势在圆内是处 处连续的,在圆内的任何等价(点电荷都不可能产生同样的效果 应用电像法成败的关键,就在于能否求出这个等价电荷的电量和它的空间位置.这是这个等 价电荷是否存在的集中体现 根据对称性的考虑,还可以进一步断定,如果这个等价电荷存在的话,它还一定位于真实电 荷所处的半径的延长线上Wu Chong-shi §29.3 ➉ ➊ Poisson ✸✹ò ➴➋➌➚➪➘ Green ➶➹ ➱ 8 ✃ ➀ ➞ ✥✦êr✔ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✥❧ r < r0 ♦ ✥ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0  ln r 0 a + X∞ m=1 1 m hrr0 a 2 m −  r r 0 mi cos m(φ − φ 0 )  , ❧ r > r0 ♦ ✥ G(r; r 0 ) = − 1 2πε0  ln r a + X∞ m=1 1 m hrr0 a 2 m − r 0 r mi cos m(φ − φ 0 )  , ❯❜➀❏❖ ✤ ✥ ★ Green ✚✛❇④❽❅❆✗✘✙❋●✚✛❍■✥ ✬✭Õ ▲ ✥ r❬✙ ⑨➧q ❺ ❸❂➟✛ ✼❧❊ ✥ ❇➠➵ ✱➡➆➏❙➢ÏÙ❨✸★➟✛ê➅✼ ➫➭✥Ô ✱ r❬ ✙⑨➧✦❺➭⑦✼❇➡✥➀✧★ ✇➤➥➦➟ ✛ê➅✙➧➨✼ Ù❜✥ ◗❘✬ ❏❖ ✤ ✥✫★❞♠ ✞ ❐⑨✙s➩Ï➧✼ ➫➭Ú➯ ✥ ✬➲ ✱ ♠♥ ➓ ❫➣ ❯ ✲ ❍❴✤✥✱ ➓➳❯❵❊❐Ô❡❞ ❍❴✼➓ ❶➵ÿ ✬ ✲ ✙ ❍ ② ✥✦❺✲ ❍❴✙ ❍②➅ ❡❞ ❍❴✙ ❍②✙➂➃✼ý➸ ✱✲ ❍❴➆✱✲❺✺ ✛ ÐÑ✙✥ ❣ ✤ ➸ ✱ ➓ ❶❺➑➑➇➈✙✼➭ ➠ ❻➳✒➺❖➻ ♥ ê ❐❡❞ ❍❴✱ ➓ ❶ ➆❝❞✙ ❍②✥ ❧❊ ➜✦ê❐✔➼ ❒ ➓ ❶ Poisson ❖P◗✬❘❙✗✘✙ Green ✚✛✼ Ô ✱★◗❘✙ ➀❏❖ ✤ (✻✷ ❍☞✤) ✥ ❹➽❋➾➈❺ • ➚❸❹➪❄➶➹➘➴➷➬➮➱✃❄❀➘➴❐❒ ✼ • ❣❮✏ Õ✥✦ ❰ÏÐÑÒ❄❀➘➴❄ÓÔ➱✃ÐÕÖ❆ ♥ ❹×ØÙ❄Ú➮❀➘➴ (➬➮ÛÜÝ❄❀➘➴✥Þ➬ ➮Û➱✃❄ ßß à➘➴) ❄ÓÔ ✼ • ➀❒ ßà à ❍❴✙❥⑩✮✥✦➥Ô✱✫➅ ➓ ❶ ✙áØ✙ ✲ ❍❴✬→✥✱ ÑÒ ✒✞❐ ➅❑ ▲✗✘➝➞✙⑨✼ â 29.1 ãäå • ➉★ ➓ ❶ ✙ ❍❴❲❢❇❴ ✥➉★➀➁❒✲ ❍❴➜✒ ❝❞❐ Ñæ r = a ÏÐ (➘ç❆ 0) ✙è ➠ ✥ ❘❙✗✘ é ❄ê✿ë➬ù ✥✦✒ì➯ ➀ ➞r❬✙⑨➅❑ ▲✗✘✙⑨✱ ➓ ❶ ✬✖✬í✼ • ❨✸ ➲✱♥äî❬ ✥➀❒❥⑩ ❍❴➭ ➠ ❦✱ ✙✏ ✥✫ ✬✖❦➣ Ñï ✥ÒÓ ➓ ❶ ✙ ❍❴❲❢✦ ➅❑ ▲✙✗✘❇➝ ✥✦ ❇ ✒ì➯❥⑩✮✼✇➸❣✬ ❏Õ ✤ ✥ ➺➣❡❞ ❍❴✙ ❍②✱ ➓ ❶❺➑ ➑ ➇➈✙ ✥✱ ➓ ❶ ✙ ➵↕❥⑩ (✲) ❍❴Ö ❇❨ ✒ ❝❞➝➞✙è➠✼ • ❽❋ ❍☞✤✐ð✙ ✍ñ✥✦✱➣ ✒Òê❐ ➀❒❥⑩ ❍❴✙ ❍❢ ➅✫✙ ❭❪❦❳✼ ➀❺➀❒❥ ⑩ ❍❴❺Ò❦✱ ✙ò ❫ ➤Ô✼ • ✪✫✺✻✮✙ût ✥ì ❨✸✧ ✬óô✖ ✥➭ ➠ ➀❒❥⑩ ❍❴❦✱ ✙✏ ✥✫ì✬✖❦➣áØ ❍ ❴➆➑ ✙➄➅✙õöð❯✼