第一章多项式 §1数域，§2一元多项式 教学目标掌握数域、一元多项式的概念、次数公式多项式的运算及运算性质 教学重点：数域、一元多项式的概念次数公式消去律 教学方法：讲授法 教学过程 多项式是代数学中最基本的研究对象之一按照所研究的问题，我们常常需要明确所考虑的数的范 围，常见的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数它们虽然有很大差别，但却有很多共同的性质 例如，关于加、 减、乘、除等运算的性质（即通常所说的代数性质）.有些数集也具有有理数、实数及复 数所共有的代数性 质为了在讨论中能把它们统 起来，我们引入一个一般的概名 定义1设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1如果P中任意两个数（这两个也可以相同） 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域. 显然，全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域这三个数域我 们分别用字母Q、R、C来代表全体整数组成的集合就不是数域，因为不是任意两个整数的商都是整数 如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，我们就说数集P对这个运算是封闭 的.因此，数域的定义也可以说成，如果一个包含0,1在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不 为0)是封闭的，那么P就称为一个数域 下面来举一些例子 例1所有具有形式a+bW2的数（其中a,b是任何有理数，构成一个数域通常用Q(√2）米表示这 个数域显然，数集Q(√万)包含0与】并且它对于加减法是封闭的.现在证明它对乘除法也是封闭的.我 们知道 (a+b2Xc+d2)=(ac+2bd)+(ad+be) 因为a,b,c,d都是有理数，所以ac+2bd,ad+bc也是有理数这就说明乘积 (a+b2)(c+d瓦)还在Q(瓦)内，所以Q(√2)对于乘潮封闭的 设a+bW5≠0，于是a-bW2也不为零（为什么？），而 6得-%k滑-等器奈第一章 多项式 §1 数域，§2 一元多项式 教学目标: 掌握数域、一元多项式的概念、次数公式, 多项式的运算及运算性质. 教学重点: 数域、一元多项式的概念,次数公式,消去律. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 多项式是代数学中最基本的研究对象之一.按照所研究的问题,我们常常需要明确所考虑的数的范 围.常见的数的范围有全体有理数、全体实数以及全体复数.它们虽然有很大差别,但却有很多共同的性质. 例如,关于加、减、乘、除等运算的性质（即通常所说的代数性质）.有些数集也具有有理数、实数及复 数所共有的代数性质.为了在讨论中能把它们统一起来,我们引入一个一般的概念. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合,其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个数(这两个也可以相同) 的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 P 中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然,全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域我 们分别用字母 Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域,因为不是任意两个整数的商都是整数. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一运算的结果都仍在 P 中,我们就说数集 P 对这个运算是封闭 的.因此,数域的定义也可以说成,如果一个包含 0,1 在内的数集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不 为 0）是封闭的，那么 P 就称为一个数域. 下面来举一些例子. 例 1 所有具有形式 a b + 2 的数(其中 a b, 是任何有理数),构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这 个数域.显然,数集 Q( 2) 包含 0 与 1 并且它对于加减法是封闭的.现在证明它对乘除法也是封闭的.我 们知道 ( 2)( 2) ( 2 ) ( ) 2 a b c d ac bd ad bc + + = + + + . 因为 a b c d , , , 都是有理数,所以 ac bd ad bc + + 2 , 也是有理数.这就说明乘积 ( 2)( 2) a b c d + + 还在 Q( 2) 内,所以 Q( 2) 对于乘潮封闭的. 设 a b +  2 0 ，于是 a b − 2 也不为零（为什么？），而 2 2 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 2 ( 2)( 2) 2 2 c d c d a b ac bd ad bc a b a b a b a b a b + + − − − = = + + + − + −