图为是有理或。所以答二器产电是有数这债框我了时于除法的封得性 例2所有可以表成形式 a+aπ+.+anπ b+bπ+.+bnπm 的数组成一数域，其中n,m为任意非负整数，a,b=0,j=0,m)是整数验证留给读者去做 例3所有奇数组成的数集对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.√互的整倍数的全体成 一数集，它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭当然，以上这两个数集都不是数域 最后，我们指出数域的一个重要性质所有的数域都包含有理数域作为它的一部分事实上，设P是 一个数域，由定义，P含有1.根据P对于加法的封闭性，1+1=2,2+1=3，n+1=n+1,.全在P中 换句话说，P包含全体自然数又因P包含全体整数任何一个有理数都可以表成两个整数的商，由P 对除法的封闭性即得上结论. 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域P作为基础设x是一个符号（或 称文字)，我们有 定义2设n是一非负整数形式表达式 anx+an-x-+.+a6 (1) 其中4,4，a全属数域P,称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式 在多项式()中，a,x称i为次项，a,称为i次项的系数以后我们用f(x),g(x),.或∫，g,.等来 代表多项式. 定义3如果在多项式∫(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与 g(x)就称为相等，记为f(x)=g(x) 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0. 在()中，如果a,≠0，那么ax”称为多项式(1)的首项，a称为首项系数，n称为多项式(1)的次数 零多项式是唯一不定义次数的多项式多项式f(x)的次数记为(f(x) 现在我们对形式表达式()，引入运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式 设f(x)=ax”+anr-+.+ao,gx)=bx"+bn-x-++是数域P上两个多项式.那 么可以写成 fx)-ax.g()-b 因为 a b c d , , , 是有理数，所以 2 2 2 2 2 , 2 2 ac bd ad bc a b a b − − − − 也是有理数.这就证明了对于除法的封闭性. 例 2 所有可以表成形式 0 1 0 1 n n m m a a a b b b     + + + + + + 的数组成一数域,其中 n m, 为任意非负整数, , ( 0, , ; 0, , ) i i a b i n j m =  =  是整数.验证留给读者去做. 例 3 所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭的. 2 的整倍数的全体成 一数集,它对于加、减法是封闭的，但对于乘除法不封闭.当然,以上这两个数集都不是数域. 最后,我们指出数域的一个重要性质.所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.事实上,设 P 是 一个数域,由定义, P 含有 1.根据 P 对于加法的封闭性,1 1 2,2 1 3, , 1 1, + = + =  + = +  n n 全在 P 中, 换句话说, P 包含全体自然数.又因 P 包含全体整数.任何一个有理数都可以表成两个整数的商,由 P 对除法的封闭性即得上结论. 在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域 P 作为基础.设 x 是一个符号(或 称文字),我们有 定义 2 设 n 是一非负整数.形式表达式 1 1 0 n n n n a x a x a − + +  + − , (1) 其中 0 1 , , , n a a a  全属数域 P ,称为系数在数域 P 中的一元多项式,或者简称为数域 P 上的一元多项式. 在多项式(1)中, i i ax 称 i 为次项, i a 称为 i 次项的系数.以后我们用 f x g x ( ), ( ), 或 f g, ,  等来 代表多项式. 定义 3 如果在多项式 f x( ) 与 g x( ) 中,除去系数为零的项外,同次项的系数全相等,那么 f x( ) 与 g x( ) 就称为相等,记为 f x g x ( ) ( ) = 系数全为零的多项式称为零多项式,记为 0. 在(1)中,如果 0 n a  ,那么 n n a x 称为多项式(1)的首项, n a 称为首项系数, n 称为多项式(1)的次数. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式 f x( ) 的次数记为 ( ( )) f x . 现在我们对形式表达式(1),引入运算,为便于计算和讨论,我们常常用和号来表达多项式 设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + +  + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + +  + − 是数域 P 上两个多项式.那 么可以写成 0 ( ) n i i i f x a x = =  , 0 ( ) m j j j g x b x = =