在表示多项式f(x)与g(x)的和时，如nm,为了方便起见，在gx)中令 bn=bn=.=bn1=0.那么f(x)与g(x)的和为 f(x)+g(x)=(a+b)x"+(a+b)x"+.++b)x+(o+)=>(a,+b.)x' 而f(x)与g(x)的乘积为 f(x).g(x)=a,bxm+(a,b+ab)x"(x 其中s次项的系数是 a,6+a-4+.+ab+ab.=∑ab, 所以∫(x)g(x)可表成 r) 显然，数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式。 对于多项式的加减法，不难看出f(x)±g(x)≤max(f(x),(g(x)》 对于多项式的乘法，可以证明，如果f(x)≠0，gx)≠0，那么fx)g(x)≠0，并且 a(f(x)g(x))=a(f(x))+(g(x)). 事实上，设 fx)=ax+an-x-++a,g(x)=bx+b-x1++b,an≠0，bn≠0 于是f(x)g(x)的首项是abx+".显然a,bn≠0，因之，f(x)g(x)≠0而且它的次数就是n+m. 由以上证明还看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 1.加法交换律：f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2.加法结合律：((x)+g(x)+x)=fx)+(g(x)+x) 3.乘法交换律：f(x)g(x)=g(x)f(x) 4.乘法结合律：(f(x)g(x)hx)=f(x(g(x)hx) 5.乘法对加法的分配律：∫(xg(x)+h(x》=f(x)g(x)+f(x)hx)在 表 示 多 项 式 f x( ) 与 g x( ) 的和时 , 如 n m , 为 了 方 便 起 见 , 在 g x( ) 中 令 1 1 0 n n m b b b = =  = = − + .那么 f x( ) 与 g x( ) 的和为 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n f x g x a b x a b x − + = + + + +  − − 1 1 0 0 + + + + ( ) ( ) a b x a b 0 ( ) n i i i i a b x = = +  而 f x( ) 与 g x( ) 的乘积为 1 1 1 ( ) ( ) ( ) n m n m n m n m n m f x g x a b x a b a b x + + − − −  = + + 1 0 0 1 0 0 + + + + ( ) a b a b x a b 其中 s 次项的系数是 s s s s i j 0 1 1 1 1 0 i j s a b a b a b a b a b − − + = + +  + + =  所以 f x( ) g x( ) 可表成 f x( ) g x( ) 0 ( ) m n s i j s i j s a b x + = + = =   显然,数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法,不难看出      ( ( ) ( )) max( ( ( )), ( ( ))) f x g x f x g x . 对于多项式的乘法,可以证明,如果 f x g x ( ) 0, ( ) 0   ,那么 f x g x ( ) ( ) 0  ,并且  =  +  ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) f x g x f x g x . 事实上,设 1 1 0 ( ) , n n n n f x a x a x a − = + +  + − 1 1 0 ( ) m m m m g x b x b x b − = + +  + − , 0, 0 n m a b   , 于是 f x( ) g x( ) 的首项是 n m n m a b x + .显然 0 n m a b  ,因之, f x( ) g x( ) 0  而且它的次数就是 n m+ . 由以上证明还看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然,上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形. 和数的运算一样,多项式的运算也满足下面的一些规律. 1. 加法交换律: f x( ) + g x( ) = g x( ) + f x( ) 2. 加法结合律: ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x + + = + + 3. 乘法交换律: f x( ) g x( ) = g x( ) f x( ) 4. 乘法结合律: ( ( ) ( )) ( ) ( )( ( ) ( )) f x g x h x f x g x h x = 5. 乘法对加法的分配律: f x g x h x f x g x f x h x ( )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) + = +