第七部分无穷级数第11页共20页 注:本题也可先解定解问题 得到y(x)=2ex-x-1后再用泰勒公式讨论 y(0)=1 27.求下列幂级数的收敛域 ()∑(-12x,(2)∑(-m)y,()∑1x 解 ()记an=(-)"m,因为 = lim- 所以收敛半径为R=,收敛区间为(1 又因为当x=时,级数∑(-1)产=条件收:当x=-时,级数 发散 故级数∑(-1”=x”的收敛域为(,万 (2)记an=(-1)”n",由m/gn+=lim(n+11+二= 得收敛半径为 n→,① R=0,所以幂级数∑(-mx)”仅在x=0处收敛 (3)记a h,由m/am=lim =0,得收敛半径为R=+∞,故级数 n→xn+1 S1x"的收敛域为(-∞,+∞) 28.求幂级数∑x2n-的收敛域。 解:此时不能套用收敛半径的计算公式,而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。第七部分 无穷级数 第 11 页 共 20 页 11 注：本题也可先解定解问题    =  − = y(0) 1 y y x ，得到 y(x) = 2e − x −1 x 后再用泰勒公式讨论。 27．求下列幂级数的收敛域 (1)   = − 1 2 ( 1) n n n n x n ，(2) (− ) =   nx n n 1 ，(3) 1 1 n x n n ! =   。 解： (1) 记 a n n n n = (−1) 2 ，因为 lim lim n n n n a a n → n + → = + = 1 2 1 2 , 所以收敛半径为 2 1 R = ，收敛区间为 ) 2 1 , 2 1 (− 。 又 因 为 当 x = 1 2 时 ， 级 数 (− ) =   1 1 1 n n n 条 件 收 ； 当 x = − 1 2 时 ， 级 数 (− ) (− ) = =  =   1  1 1 1 1 1 n n n n n n 发散。 故级数   = − 1 2 ( 1) n n n n x n 的收敛域为 ] 2 1 , 2 1 (− 。 (2) 记 an n n n = (−1) , 由 lim lim( ) n n n n n a a n → n + → = + +       = + 1 1 1 1 , 得收敛半径为 R = 0 , 所以幂级数 (− ) =   nx n n 1 仅在 x = 0 处收敛。 (3) 记 a n n = 1 ! , 由 lim lim n n n n a → a n + → = + = 1 1 1 0 , 得收敛半径为 R = +, 故级数 1 1 n x n n ! =   的收敛域为 (−, + ) 。 28．求幂级数   = − 1 2 1 3 1 n n n x 的收敛域。 解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径