不连续点,则f(a+)存在,且f(a)<f(a+)≤f(b),于是f(x)取不到开区 间(f(a),f(a+)中的值,也与条件矛盾;同样可以证明x=b也不可能是 f(x)的不连续点。 4.应用 Bolzano-Weierstrass定理证明闭区间上连续函数的有界性定 理 证采用反证法。设f(x)在闭区间ab]上连续,但无界,则存在点列 xn},xn∈[ab],满足|(xn)>n,即limf(xn)=m。由 bolzano- -Weierstrass 定理,存在子列{n},lmxn=5,且5∈[ab。因为f(x)在点5连续, 所以有imnf(xn)=f(5),与limf(xn)=∞产生矛盾 5.应用闭区间套定理证明零点存在定理 证设f(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)(b)<0,不妨设a=a1,b=b f(a)<0,f(b)>0。 如果/(2-)=0,则定理得证。如果f9+b0,则令a2=9+b, b2=b1;如果/④+2)>0,则令a2=a1,b2=④ 如果(+b)=0,则定理得证。如果/+)<0,则令a3=+2 h2=b2;如果/(+2)>0,则令a3=a2,b3 这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k,使得∫(“)=0, 则定理得证;如果不存在某个k,使得/(4+b)=0,则得到一个闭 区间套缸an,bn]},满足f(an)<0,f(bn)>0。由闭区间套定理,可知存不连续点，则 f (a+)存在，且 f (a) < f (a+) ≤ f (b)，于是 取不到开区 间 中的值，也与条件矛盾；同样可以证明 f (x) ( f (a), f (a+)) x = b也不可能是 f (x)的不连续点。 4. 应用 Bolzano-Weierstrass 定理证明闭区间上连续函数的有界性定 理。 证 采用反证法。设 在闭区间 上连续，但无界，则存在点列 ， ，满足 f (x) [a,b] {xn } x [a,b] n ∈ f (xn ) > n，即 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 。由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在子列{ } nk x ， = ξ →∞ k n k lim x ，且ξ ∈[a,b]。因为 f (x)在点ξ 连续， 所以有 lim f (x ) f (ξ ) k n k = →∞ ，与 = ∞ →∞ lim ( ) n n f x 产生矛盾。 5. 应用闭区间套定理证明零点存在定理。 证 设 f (x)在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) f (b) < 0，不妨设 ， ， ， 。 1 a = a 1 b = b f (a) < 0 f (b) > 0 如果 ) 0 2 ( 1 1 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 1 1 < a + b f ，则令 2 1 1 2 a b a + = ， b2 = b1；如果 ) 0 2 ( 1 1 > a + b f ，则令 2 1 a = a ， 2 1 1 2 a b b + = 。 如果 ) 0 2 ( 2 2 = a + b f ，则定理得证。如果 ) 0 2 ( 2 2 < a + b f ，则令 2 2 2 3 a b a + = ， b3 = b2；如果 ) 0 2 ( 2 2 > a + b f ，则令a3 = a2， 2 2 2 3 a b b + = 。 "", 这样的过程可以一直进行下去。如果存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ， 则定理得证；如果不存在某个k ，使得 ) 0 2 ( = ak + bk f ，则得到一个闭 区间套{[an ,bn ]}，满足 f (an ) < 0， f (bn ) > 0 。由闭区间套定理，可知存 52