在唯一属于所有闭区间[anbn]的点,且 lim a=imbn=5。再由f(x)在 点ξ的连续性,可知f()=limf(an)≤0与f(2)=limf(bn)≥0,从而得到 ∫(2)=0,定理得证。 6.证明方程x= asin+b(a,b>0)至少有一个正根。 证令f(x)=x- a sin x-b,则f(x)在[0,+∞)上连续。取A>a+b,则 f0)<0,f(4)>0,由零点存在定理,f(x)在(0,4上至少有一个根 7.证明方程x3+px+q=0(p>0)有且仅有一个实根 证令f(x)=x3+px+q,则f(x)在(-∞,+∞)上是严格单调增加的。由 imf(x)=-∞,limf(x)=+∞,易知f(x)在(-∞,+)上有且仅有一个 x→+ 实根 证明 (1)sin在(0,1)上不一致连续,但在(a,1)(a>0)上一致连续; (2)sinx2在(-+a)上不一致连续,但在[0,4上一致连续 (3)√x在[0+∞)上一致连续; (4)Inx在[+∞)上一致连续 (5)cos√x在[0+∞)上一致连续 证(1)在(0,1)上,令xn= xn-xn→>0, ni+ sin+-sin|=1,所以sin在(0,1)上不一致连续。 在(a)(a>0)上,vE>0,取δ=a26>0,Vx,x2∈(a1),x-x2<d, 成立 sin----sIn在唯一属于所有闭区间[an ,bn ]的点ξ ，且 = →∞ n n lim a = ξ →∞ n n lim b 。再由 在 点 f (x) ξ 的连续性，可知 f (ξ ) = lim ( ) ≤ 0 →∞ n n f a 与 f (ξ ) = lim ( ) ≥ 0 →∞ n n f b ，从而得到 f (ξ ) = 0，定理得证。 6. 证明方程x = asin x + b（a,b > 0）至少有一个正根。 证 令 f (x) = x − a sin x − b ，则 f (x) 在[0,+∞) 上连续。取 ，则 ， ，由零点存在定理， 在 上至少有一个根。 A > a + b f (0) < 0 f (A) > 0 f (x) (0, A) 7．证明方程 x 3 + px + q = 0（ p > 0）有且仅有一个实根。 证 令 f (x) = x 3 + px + q ，则 f (x) 在(−∞,+∞) 上是严格单调增加的。由 = −∞， →−∞ lim f (x) x = +∞ →+∞ lim f (x) x ，易知 f (x)在(−∞,+∞) 上有且仅有一个 实根。 8．证明： （1）sin 1 x 在（0,1）上不一致连续，但在(a,1)(a＞0)上一致连续； （2）sin x 2 在(−∞,+∞) 上不一致连续，但在[0,A]上一致连续； （3） x 在[0,+∞) 上一致连续； （4）ln x 在[1,+∞)上一致连续； (5) cos x 在[0,+∞) 上一致连续。 证（1）在(0,1) 上，令 nπ xn ' 1 = ， 2 " 1 π π + = n xn ， xn ' − xn " → 0，但 1 1 sin 1 sin ' " − = n n x x ，所以 sin 1 x 在（0,1）上不一致连续。 在(a,1) (a＞0)上，∀ε > 0，取δ = a 2 ε > 0， , ( ,1) 1 2 ∀x x ∈ a ，x1 − x2 < δ ， 成立 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 sin 1 sin a x x x x x x − − ≤ − ≤ < ε ， 53