D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1982.04.009 北京钢铁学院学报 1982年第4期 函数矩阵在共轭曲面综合曲率中的应用 数学教研组冯镶坤 摘 要 共轭曲面的综合曲率是啮合理的重要内内容，是接触应力计算的重要依据。本 文根据综合曲率与平均曲率的关系，使用函数矩阵及其导数，找到了曲面族函数· 阶导数的矩陈表达式及其对坐标变换的不变量，得到了一次包络和二次包络综合曲 率的显式表示。在显式中曲面族函数的各阶导数，能分出与曲面形状无关的系数矩 阵与二次型，可预先算好，从而使一次包络与二次包络的综合曲率，都可以在两个 坐标系中进计算。 设共轭曲面Σ1、Σ2在切点P处沿任一方向的法曲率分别为K:)、K:),则诱导法曲率 K1)=K:-K:的最大值（绝对值），工程上通常称为综合曲率，记为K:),且把 它的倒数叫做综合曲率半径，记为 R(2)-K3)1 定理1共轭曲面∑：与∑，在切点P的综合曲率，等于两曲面在该点处的平均曲率H)与 H2)之差的两倍，即 K:2)=2(H(1)-H(2) (1) 证设、三2在P点两个主方向的夹角为中，相应的主曲率分别为k)、k)与 k2)、k2),任一方向与2：的第一主方向的夹角为P,根欧拉公式，有 K1)=k(1)cos2+k)sin2o K2)=k2 cos2(-)+k2)sin2(-) K2)=k)-k2)-(k)-kI)8in2p+ +(k2)-k2)8in2(p-pg） (2) 由于在P点的接触线方向是一个诱导主方向，相应的诱导法曲率为零，与之垂直的方向 使诱导法曲率达到最大值，令 dK() do=0 并且代入(2)，即可得【2到 K12)=(k1)+k)-(k2)+k2) =2(H1)-H(2))(证完) 78北 京 钢 铁 学 院 学 报 年第 期 函数矩阵在共扼曲面综合曲率中的应用 数 学教研 组 冯德 坤 摘 要 共扼 曲面 的综合 曲率是 啮合 理 的重 要 内内容 ， 是接 触应 力计算 的重 要佼 据 。 本 文根据综合 曲率与平 均曲率的关系 ， 使用 函 数矩 阵及 其导数 ， 找到了 曲面族 函数 阶导数 的矩 陈表达 式及 其对 坐标 变换 的不 变量 ， 得到 了一 次包络和二 次包络 综合 曲 率的显 式表示 。 在 显 式中曲面 族 函数 的各 阶导数 ， 能分 出与 曲面 形 状 无 关 的系数矩 阵与二 次型 ， 可预 先算好 ， 从 而使 一 次包络与二 次包络 的综 合 曲率 ， 都可 以在 两个 坐标系中进 计算 。 设共辘曲面 艺 、 艺 在切点 处沿任一方 向的法 曲率 分别为 《孟 、 《孟 ， 则 诱 导法 曲率 二 ‘ “ 一 的最 大值 绝对值 ， 工 程 上通 常称为综 合 曲率 ， 记 为 《二 ， 且把 它 的倒数 叫做综 合 曲率半径 ， 记 为 一更一 】人 ‘ 言 ‘ ， 定理 共耗 曲面艺 与艺 在 切点 的综 合曲率 ， 等 于 两 曲面 在 该点 处的平 均 曲率 ‘ 与 《 ， 之差 的 两倍 ， 即 二 川 一 证 设 艺 、 艺 在 点 两个主 方 向的夹 角为甲 。 ， 相应 的主 曲 率 分 别为 圣 ‘ ’ 、 蓬 ‘ 与 荟 名 、 “ ， 任一方 向 与 艺 的第一主 方 向 的 夹角为 甲 ， 根欧拉公式 ， 有 盔” 荟 ’ 甲 二 ‘ ’ “ 甲 二 荟 “ 么 甲 一 甲 。 釜’ 颐 “ 甲 一 甲 。 二“ 圣 ‘ 一 著 一 荟 ‘ 一 要 ‘ 荟 “ 一 互’ 甲 一 甲 。 由于在 点的 接触 线 方 向是一个诱 导主 方 向 ， 相应 的诱 导 法 曲率 为零 ， 与之 垂直 的方 向 使诱 导 法 曲率 达 到最 大 值 ， 令 盛 ‘ ， ’ 印 并且代入 ， 即可得 汇“ ’ 里 孑” 绪” 一 荟’ 聋 川 一 “ 证 完 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1982．04．009