第三章向量值函数与空间曲线 第三章空间曲线的基本知识 第三节曲线的曲率与挠率 第十讲曲线的曲率与挠率 课后作业: 阅读:第三章第三节曲线的曲率与挠率pp.87--94 预习:第三章第四节在天体力学中的应用pp94-96 作业 1.在下列曲线的曲率k和挠率τ (1)F=(acht, a sht, at) 2)F=(t-sin t, 1-cost, t) (3)F=(tsim, t cos t,an)(圆锥曲线) (4)F=(2n) 2.证明曲线F=(,1+,1-是平面曲线。 3.证明曲线F=(+3+212,2-2+52,1-2)是平面曲线 4.证明:(1)T”N=0;(2)B'·N=0 3.3曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式 2.3.1曲线的曲率 ●曲率的定义 在很多实际问题中,例如,设计拐弯的铁道,弯曲的梁,曲线形的刀具,都 必须考虑曲线的弯曲程度,数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率 它应该如何定义呢 设光滑曲线C的方程为F=f(s),s为自然参数,当s由s→S0+△As时,切 向量()与7(+0)的正向夹角为A0.显然,越大,则曲线C在A △s 弧段上平均弯曲程度越大。所以A越大,等价于A=|7(n+△)-川越 大,因此,光滑曲线C在点S0处的曲率可以用 (s)=|(s米 来描述,下面难出曲线C在一点处的曲率和曲率半径的定义 定义22光滑曲线F=F()对自然参数s的二阶导向量的模庐《称为曲线r(s) 在点s处的曲率,记作k(s),即A(s)=|(s 第三章向量值函数与空间曲线第三章 向量值函数与空间曲线 第三章 向量值函数与空间曲线 1 第三章 空间曲线的基本知识 第三节 曲线的曲率与挠率 第十讲 曲线的曲率与挠率 课后作业： 阅读：第三章 第三节 曲线的曲率与挠率 pp.87---94 预习：第三章 第四节 在天体力学中的应用 pp.94---96 作业: 1. 在下列曲线的曲率 k 和挠率： (1) ( ) T r = a cht, a sht,at  ； (2) ( ) T r = t − sin t, 1− cost, t  ； (3) ( ) T r = tsin t, t cost, at  （圆锥曲线）； (4) ( ) T r t t t 2 3 = , ,  。 2. 证明曲线 T t t t r t       = + − 1 , 1 , 1  是平面曲线。 3. 证明曲线 ( ) T r t t t t t 2 2 2 = 1+ 3 + 2 , 2 − 2 + 5 , 1−  是平面曲线。 4. 证明：(1) T  N = 0   ； (2) B  N = 0   . 3.3 曲线的曲率·挠率·弗雷耐公式 2.3.1 曲线的曲率 ⚫ 曲率的定义 在很多实际问题中，例如，设计拐弯的铁道，弯曲的梁，曲线形的刀具，都 必须考虑曲线的弯曲程度，数学上定量描述曲线变曲程度的概念叫曲线的曲率。 它应该如何定义呢？ 设光滑曲线 C 的方程为 r r(s)   = , s 为自然参数，当 s 由 s s s 0 → 0 +  时，切 向量 ( ) 0 T s  与 T(s + s) 0  的正向夹角为 。显然， s  越大，则曲线 C 在 A  B  弧段上平均弯曲程度越大。 所以  s 越大，等价于 ( ) s T s s T s s T  +  − =   ) ( ) 0 0   越 大，因此，光滑曲线 C 在点 s0处的曲率可以用 lim ( ) ( ) 0 0 0 T s r s s T s    =  =     → 来描述，下面难出曲线 C 在一点处的曲率和曲率半径的定义。 定义 2.2 光滑曲线 r r(s)   = 对自然参数 s 的二阶导向量的模 r (s)   称为曲线 r(s) 在点 s 处的曲率，记作 k(s)，即 k(s) r (s)  = 