注n阶方阵A1可逆,1≤i≤r,则(A142…A)-1=A1…A21A1 注n阶方阵A,B可逆,A+B未必可逆 A的伴随矩阵 定义设A是一个n阶方阵,行列式|4中元素a的代数余子式记为A,称 下列矩阵为A的伴随矩阵,记为A* A142 InAn inn 命题AA=AA=|4|1 证明 Aj1+ai2 Aj2+ 6|A4.口 定理若41≠0,则A可逆,且4=而A 例143+A2+A+I=0,则A可逆 例2A≠I,A2=1,则A+I不可逆 例3A,B,A+B是可逆阵,则A-1+B-1也可逆 分析+= 证明因为B(A-1+B-1)4(4+B)-1=I,所以(A-1+B-1)A(A+B)-1B=L 同理,A(A+B)-1B(-1+B-1)=I.所以(4-1+B-1)-1=A(A+B)-1B.口 例4设A为n阶方阵,X,B为n维列向量,且AX=3.若|4≠0,则 A-13.这就是 Cramer法则 作业:Ps1(1),6,9,10❨ n ❇ ✶✩ Ai ❏ ✫✱ 1 ≤ i ≤ r, ❍ (A1A2 · · · Ar) −1 = A−1 r · · · A −1 2 A −1 1 . ❨ n ❇ ✶✩ A, B ❏ ✫✱ A + B ♥♦❏✫✺ ♣✺ A ✘qrst ✾✿ ❃ A ❄❅❆ n ❇ ✶✩✱ ❢❣✉ |A| ✈ ✇① aij ✪②♠③④✉ ❚▲ Aij , ■ ⑤ ❣ ★✩▲ A ✪✳✴★✩✱❚▲ A∗ . A ∗ =   A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2 · · · · · · · · · · · · A1n A2n · · · Ann   . ◗❘ AA∗ = A∗A = |A|In. ❯❱ ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn = δij |A|; a1iA1j + a2iA2j + · · · + aniAnj = δij |A|. ✷ ✾⑥ ❈ |A| 6= 0, ❍ A ❏ ✫✱✐ A−1 = 1 |A|A∗ ⑦ 1 A3 + A2 + A + I = 0, ❍ A ❏ ✫✺ ⑦ 2 A 6= I, A2 = I, ❍ A + I ❜ ❏ ✫✺ ⑦ 3 A, B, A + B ❄❏✫✩✱❍ A−1 + B−1 ⑧❏ ✫✺ ⑨⑩ 1 a + 1 b = a+b ab . ❯❱ ❶▲ B(A−1 +B−1 )A(A+B) −1 = I, ❲❳ (A−1 +B−1 )A(A+B) −1B = I. ❷✜✱ A(A + B) −1B(A −1 + B−1 ) = I. ❲❳ (A −1 + B−1 ) −1 = A(A + B) −1B. ⑦ 4 ❃ A ▲ n ❇ ✶✩✱ X, β ▲ n ❸❣❹❺✱✐ AX = β. ❈ |A| 6= 0, ❍ X = A−1β. ❻❼❄ Cramer ✷❍✺ ❽❾❿ P58 1(1), 6, 9, 10. 2