《现代控制理论基础》第五章(讲义) 56.3二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 Ax+ Bi 确定最优控制向量 l(1)=-Kx() (521) 的矩阵K,使得性能指标 (5.22 达到极小。式中Q是正定(或正半定) Hermite或实对称矩阵,R是正定 Hermite 或实或实对称矩阵。注意,式(5.22)右边的第二项是考虑到控制信号的能量损 耗而引进的。矩阵φ和R确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此,假设控制 向量u(1)是不受约束的。 正如下面讲到的,由式(5.21)给出的线性控制律是最优控制律。所以,若 能确定矩阵K中的未知元素,使得性能指标达极小,则u()=-Kx()对任意初始 状态x(0)而言均是最优的。图5.6所示为该最优控制系统的结构方块图。 x= Ax +Bu 图5.6最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21)代入式(5.20),可得 x= Ax- bkx=(A- bk)x 在以下推导过程中,假设A-BK是稳定矩阵,A-BK的所有特征值均具有 负实部。 将式(5.21)代入(5.22),可得 J=("@x+x"K"RKx)dt (O+K RK)xdt 依照解参数最优化问题时的讨论,取《现代控制理论基础》第五章(讲义) 1 5.6.3 二次型最优控制问题 现在我们来研究最优控制问题。已知系统方程为 x  = Ax + Bu (5.20) 确定最优控制向量 u(t) = −Kx(t) (5.21) 的矩阵 K，使得性能指标 (5.22) 达到极小。式中 Q 是正定（或正半定）Hermite 或实对称矩阵，R 是正定 Hermite 或实或实对称矩阵。注意，式(5.22）右边的第二项是考虑到控制信号的能量损 耗而引进的。矩阵 Q 和 R 确定了误差和能量损耗的相对重要性。在此，假设控制 向量 u(t) 是不受约束的。 正如下面讲到的，由式(5.21）给出的线性控制律是最优控制律。所以，若 能确定矩阵 K 中的未知元素，使得性能指标达极小，则 u(t) = −Kx(t) 对任意初始 状态 x(0)而言均是最优的。图 5.6 所示为该最优控制系统的结构方块图。 图 5.6 最优控制系统 现求解最优控制问题。将式(5.21）代入式(5.20），可得 x  = Ax − BKx = (A − BK)x 在以下推导过程中，假设 A − BK 是稳定矩阵， A − BK 的所有特征值均具有 负实部。 将式(5.21）代入（5.22），可得     = + = + 0 0 ( ) ( ) x Q K RK xdt J x Qx x K RKx dt H H H H H 依照解参数最优化问题时的讨论，取   = + 0 J (x Qx u Ru)dt H H