《现代控制理论基础》第五章(讲义) x(o+K RK)x=-(x" Px 式中的P是正定的 Hermite或实对称矩阵。于是 x"(O+K RK)x=-x Px=-x[(A-BK)"P+P(A-BK)x 比较上式两端,并注意到方程对任意x均应成立,这就要求 (A-BK)P+P(A-BK)=-0+K RK 根据 Lyapunov第二法可知,如果A-BK是稳定矩阵,则必存在一个满足式 (5.23)的正定矩阵P 因此,该方法由式(5.23)确定P的各元素,并检验其是否为正定的(注意, 这里可能不止一个矩阵P满足该方程。如果系统是稳定的,则总存在一个正定的 矩阵P满足该方程。这就意味着,如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵P 该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵P不是正定的,必须丢弃)。 性能指标可计算为 J=0x(+K"R)xd=-x"P=-x"()Px()+x"()P(O) 由于假设ABK的所有特征值均具有负实部,所以x(∞)→0。因此 J=x"(0)P2x(0) (5.24) 于是,性能指标J可根据初始条件x(0和P求得。 为求二次型最优控制问题的解,可按下列步骤操作:由于所设的A是正定 Hermite或实对称矩阵,可将其写为 R=TT 式中T是非奇异矩阵。于是,式(5.23)可写为 (A"-K BP+P(A-BK)+O+K T TK=0 上式也可写为 A"P+PA+ITK-(T)B" ITK-(T)B P]-PBR B"P+0=0 求J对K的极小值,即求下式对K的极小值 x"[TK-(T)-BPI"[TK-(T)B"PIx (见例5.21)。由于上面的表达式不为负值,所以只有当其为零,即当 TK=(T)B"P 时,才存在极小值。因此 K=T-TH) P=R-BP (5.25) 式(5.25)给出了最优矩阵K所以,当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22) 定义时,其最优控制律是线性的,并由 u(o)=-Kx(0=-R B"Px(o)《现代控制理论基础》第五章(讲义) 2 ( ) (x Px) dt d x Q K RK x H H H + = − 式中的 P 是正定的 Hermite 或实对称矩阵。于是 x (Q K RK)x x Px x Px x [(A BK) P P(A BK)x] H H H H H H + = −  −  = − − + − 比较上式两端，并注意到方程对任意 x 均应成立，这就要求 (A BK) P P(A BK) (Q K RK) H H − + − = − + (5.23) 根据 Lyapunov 第二法可知，如果 A − BK 是稳定矩阵，则必存在一个满足式 (5.23）的正定矩阵 P。 因此，该方法由式(5.23）确定 P 的各元素，并检验其是否为正定的（注意， 这里可能不止一个矩阵 P 满足该方程。如果系统是稳定的，则总存在一个正定的 矩阵 P 满足该方程。这就意味着，如果我们解此方程并能找到一个正定矩阵 P， 该系统就是稳定的。满足该方程的其他矩阵 P 不是正定的，必须丢弃）。 性能指标可计算为 ( ) ( ) ( ) (0) (0) 0 0 J x Q K RK xdt x Px x Px x Px H H H H H = + = − = −   +    由于假设 A-BK 的所有特征值均具有负实部，所以 x() → 0 。因此 J x (0)Px(0) H = (5.24) 于是，性能指标 J 可根据初始条件 x(0)和 P 求得。 为求二次型最优控制问题的解，可按下列步骤操作：由于所设的 A 是正定 Hermite 或实对称矩阵，可将其写为 R T T H = 式中 T 是非奇异矩阵。于是，式(5.23）可写为 (A − K B )P + P(A− BK) + Q + K T TK = 0 H H H H H 上式也可写为 [ ( ) ] [ ( ) ] 0 1 1 1 + + − − − + = − − − A P PA TK T B P TK T B P PBR B P Q H H H H H H H 求 J 对 K 的极小值，即求下式对 K 的极小值 x TK T B P TK T B P x H H H H H H [ ( ) ] [ ( ) ] −1 −1 − − (见例 5.21)。由于上面的表达式不为负值，所以只有当其为零，即当 TK T B P H 1 H ( ) − = 时，才存在极小值。因此 K T T B P R B P 1 H 1 H 1 H ( ) − − − = = (5.25) 式(5.25）给出了最优矩阵K。所以，当二次型最优控制问题的性能指标由式(5.22） 定义时，其最优控制律是线性的，并由 ( ) ( ) ( ) 1 u t Kx t R B Px t − H = − = −