赵川等：基于多域流形的行星齿轮箱局部故障识别 ·771· 注，统计量特征能够发掘出振动信号中与故障相关的 循环y次，直到u,(t)成为常量或单调函数. 重要信息，为进行多域流形故障识别提供了基础.研 对于每个分量P℉的瞬时幅值能量有 究表明多域统计特征能够完整描述机械设备的运行状 1a(5)12. (5) 态信息，因而如何从振动信号中提取有效的多域特征 成为基于多域流形故障识别的重要内容.在被定义的 其中，N表示离散单分量P℉的数据长度，j表示P℉分 统计参数中，时域特征包含了六个量纲参数：均值、均 量中第广个数据点，，表示第j个数据点对应的时刻 方根植、方根幅值、标准差、歪度、峰态和六个非量纲参 构建时频域特征向量V,其中z为分解后P℉分量 数：波形因数、蜂值因数、脉冲因数、余隙因数、歪度因 个数 数、峰态因数，频域特征包含了四个统计参数：平均频 V={E,E2,…,E. (6) 率、均方根频率、中心频率、根方差频率，具体计算公式 在构建多域高维空间时，对每个样本信号进行多 参见文献[10].在基于单分量的瞬时幅值能量分析 域分析，按本文所列述的特征参量顺序进行多域统计 中，小波变换和经验模态分解是常用的信号分解方法. 量计算，并针对每个样本构建g维特征向量ω，其中9 但小波变换的结果与所选择的小波基紧密相关，且缺 为多域统计量的个数即q=6+6+4+z,w的元素记为 乏自适应性，经验模态分解法对噪音敏感且存在模态 0,c=1,2,…,9.0.的取值为对应的第c个统计量特 混合问题).程军圣等[6]对比分析了局部均值分解 征值的大小，则多域特征向量ω如式(7)所示 (local mean decomposition,LMD)和经验模态分解 ω={01,02，…，0g} (7) (empirical mode decomposition,EMD),描述了局部均 记p个样本的高维特征矩阵空间为2，x显然 值分解的优越性，并将局部均值分解方法有效的应用 P。x,不能直观的进行故障识别且维数较高，对数据的 于齿轮故障识别.局部均值分解是由Smith提出的一 后续处理造成困难.为了进一步提取低维的有效特征 种新的非线性和非平稳信号分析方法.由于局部均值 同时抑制噪音干扰，需要构建用于处理非线性特征的 分解是依据信号本身的信息进行自适应分解的，不涉 维数缩减映射. 及小波基选择与模态混合问题，产生的乘积函数P℉ 2.2等距映射降维 (production function)分量具有真实的物理意义，由此 流形学习作为处理非线性高维数据的降维方法具 得到的时频分布能够清晰准确地反映出信号能量在空 有广泛的应用，其构建降维映射的基本思路主要有两 间各尺度上的分布规律.具体计算过程如下6 种：一是利用经典多尺度降维方法将数据点投影到低 (1)找出以：为时间变量的信号x(t)的所有局部 维空间同时保持测地距离不变；二是通过分析局部的 极值点n,计算相邻极值点n,和n,的均值m,及包络 流形结构来估计全局结构.本文采用等距映射(IS0- 估计a,其中下标i表示第i个极值点 MAP)降维方法对多域高维特征空间进行进一步地特 (2)计算连续局部均值函数m(t),连续包络估 征提取.ISOMAP的本质是多维尺度变换(multidimen- 计函数a(t).其中，I表示对应第l个P℉分量，b表示 sional scaling,MDS).与MDS不同的是，ISOMAP采用 迭代次数. 测地线距离代替欧氏距离作为数据差异度量.在MDS (3)计算连续调频信号估计S(t).将m(t)从 中，利用欧氏距离作为距离度量，但只能体现数据的线 原始信号x(t)分离得h,(t),计算S:().若S,(t)的 性结构.如果原始的高维数据是高度扭曲的流形，则 包络估计函数a2(t)未满足式(2)的要求则需要重复 这种度量不能体现数据的内在结构，因而采用测地线 上述的计算过程次，直到获取一个纯调频函数 距离作为距离度量，再进行MDS降维.对于高维特征 S.(t). 空间2=[w1,w2,…,w],w.∈R,其中R为q维空 Su(t)=hu(t)/an(t), (1) 间，e=1,2,…,p.ISOMAP的应用日标是从中提取能 a2(t)=1. (2) 够表征其本质特征的4=[61，δ2，…，6]，6。∈R,其 (4)计算第一个分量PF,:PF,的包络可由式(3) 中R为d维空间且q>d.具体的实现过程如下. 计算得出.则PF,的计算表达式为(4).PF的瞬时幅 (1)计算每个点。的k个近邻点.计算每个数据 值即包络信号a,(t). 点对w和w之间的欧氏距离，记为disd(e,g),其中 e,g∈[1,2，…，p]且e≠g,确定哪些点是近邻的，构建 a,(t)=a.(t)a2(t)…a.(t)=Πa(t),(3) 近邻图G. PF,(t)=a,(t)S.(t). (4) (2)计算近邻图距离矩阵.计算近邻图G中每两 (5)将PF从原始信号x()分离得到一个新的函 点间的最短路径disg(e,g),记所得的距离矩阵为 数u(t),把u,(t)作为原始数据重复步骤(1)~(5)， Dc=disg(e,g).赵 川等: 基于多域流形的行星齿轮箱局部故障识别 注,统计量特征能够发掘出振动信号中与故障相关的 重要信息,为进行多域流形故障识别提供了基础. 研 究表明多域统计特征能够完整描述机械设备的运行状 态信息,因而如何从振动信号中提取有效的多域特征 成为基于多域流形故障识别的重要内容. 在被定义的 统计参数中,时域特征包含了六个量纲参数:均值、均 方根植、方根幅值、标准差、歪度、峰态和六个非量纲参 数:波形因数、峰值因数、脉冲因数、余隙因数、歪度因 数、峰态因数,频域特征包含了四个统计参数:平均频 率、均方根频率、中心频率、根方差频率,具体计算公式 参见文献[10]. 在基于单分量的瞬时幅值能量分析 中,小波变换和经验模态分解是常用的信号分解方法. 但小波变换的结果与所选择的小波基紧密相关,且缺 乏自适应性,经验模态分解法对噪音敏感且存在模态 混合问题[15] . 程军圣等[16] 对比分析了局部均值分解 (local mean decomposition, LMD) 和 经 验 模 态 分 解 (empirical mode decomposition, EMD), 描述了局部均 值分解的优越性,并将局部均值分解方法有效的应用 于齿轮故障识别. 局部均值分解是由 Smith 提出的一 种新的非线性和非平稳信号分析方法. 由于局部均值 分解是依据信号本身的信息进行自适应分解的,不涉 及小波基选择与模态混合问题,产生的乘积函数 PF (production function)分量具有真实的物理意义,由此 得到的时频分布能够清晰准确地反映出信号能量在空 间各尺度上的分布规律. 具体计算过程如下[16] . (1) 找出以 t 为时间变量的信号 x(t)的所有局部 极值点 ni,计算相邻极值点 ni和 ni + 1的均值 mi及包络 估计 ai, 其中下标 i 表示第 i 个极值点. (2) 计算连续局部均值函数 mlb ( t),连续包络估 计函数 alb(t). 其中,l 表示对应第 l 个 PF 分量,b 表示 迭代次数. (3) 计算连续调频信号估计 Slb ( t). 将 m11 ( t)从 原始信号 x(t)分离得 h11 (t),计算 S11 (t). 若 S11 (t)的 包络估计函数 a12 (t)未满足式(2)的要求则需要重复 上述的计算过程 w 次, 直到获取一个纯调频函数 S1w (t). S11 (t) = h11 (t) / a11 (t), (1) a12 (t) = 1. (2) (4)计算第一个分量 PF1 . PF1的包络可由式(3) 计算得出. 则 PF1的计算表达式为(4). PF1的瞬时幅 值即包络信号 a1 (t). a1 (t) = a11 (t)a12 (t)…a1w (t) = 仪 w b = 1 a1b(t), (3) PF1 (t) = a1 (t)S1w (t). (4) (5)将 PF1从原始信号 x( t)分离得到一个新的函 数 u1 (t),把 u1 (t)作为原始数据重复步骤(1) ~ (5), 循环 y 次,直到 uy(t)成为常量或单调函数. 对于每个分量 PF 的瞬时幅值能量有 El = 移 N j = 1 | al(t j) | 2 . (5) 其中,N 表示离散单分量 PF 的数据长度,j 表示 PF 分 量中第 j 个数据点,t j 表示第 j 个数据点对应的时刻. 构建时频域特征向量 V,其中 z 为分解后 PF 分量 个数. V = {E1 ,E2 ,…,Ez}. (6) 在构建多域高维空间时,对每个样本信号进行多 域分析,按本文所列述的特征参量顺序进行多域统计 量计算,并针对每个样本构建 q 维特征向量 棕,其中 q 为多域统计量的个数即 q = 6 + 6 + 4 + z,棕 的元素记为 oc, c = 1,2,…,q. oc的取值为对应的第 c 个统计量特 征值的大小,则多域特征向量 棕 如式(7)所示. 棕 = {o1 ,o2 ,…,oq}. (7) 记 p 个样本的高维特征矩阵空间为 赘p 伊 q . 显然 赘p 伊 q不能直观的进行故障识别且维数较高,对数据的 后续处理造成困难. 为了进一步提取低维的有效特征 同时抑制噪音干扰,需要构建用于处理非线性特征的 维数缩减映射. 2郾 2 等距映射降维 流形学习作为处理非线性高维数据的降维方法具 有广泛的应用,其构建降维映射的基本思路主要有两 种:一是利用经典多尺度降维方法将数据点投影到低 维空间同时保持测地距离不变;二是通过分析局部的 流形结构来估计全局结构. 本文采用等距映射( ISO鄄 MAP)降维方法对多域高维特征空间进行进一步地特 征提取. ISOMAP 的本质是多维尺度变换(multidimen鄄 sional scaling, MDS). 与 MDS 不同的是,ISOMAP 采用 测地线距离代替欧氏距离作为数据差异度量. 在 MDS 中,利用欧氏距离作为距离度量,但只能体现数据的线 性结构. 如果原始的高维数据是高度扭曲的流形,则 这种度量不能体现数据的内在结构,因而采用测地线 距离作为距离度量,再进行 MDS 降维. 对于高维特征 空间 赘 = [棕1 ,棕2 ,…,棕p], 棕e沂R q ,其中 R q为 q 维空 间,e = 1,2,…,p. ISOMAP 的应用目标是从中提取能 够表征其本质特征的 驻 = [ 啄1 ,啄2 ,…,啄p ],啄e沂R d ,其 中 R d为 d 维空间且 q > d. 具体的实现过程如下[17] . (1)计算每个点 棕e的 k 个近邻点. 计算每个数据 点对 棕e和 棕g之间的欧氏距离,记为 disd( e,g),其中 e,g沂[1,2,…,p]且 e屹g,确定哪些点是近邻的,构建 近邻图 G. (2)计算近邻图距离矩阵. 计算近邻图 G 中每两 点间的最短路径 disg ( e, g),记所得的距离矩阵为 DG = {disg(e,g)}. ·771·