·772· 工程科学学报，第39卷，第5期 (3)求低维流形.将矩阵D。作为MDS的输入从 (4)确定本征维数及最优k值.遍历r值，步长为 而求得低维流形△，x, 1,且在r值一定时，遍历d重复计算步骤(1)、(2)和 2.3本征维数估计与k近邻点选择 (3)直到H(d)以单调递增的方式接近1且在d值大 在流形学习过程中，涉及两个重要参数即本征维 于某个特定值d'时H,(d)趋于平稳，此时d'即为本征 数d与k近邻中样本个数k的确定.d是降维的目标 维数，对应的k=d”+r. 维数，是拘束样本点保证数据内在结构所需坐标的最 3实验信号分析 小个数.k值的选取和确定对流形学习的效果产生影 响.k值过大容易导致局部几何结构的损失，而k值过3.1实验说明与信号采集 小则会引起计算错误.通常k应满足范围k≥d+1且 图2所示实验系统由电机及其控制器、一级行星 d≥1.本文基于改进的虚假近邻点法，同时对本征维 齿轮箱及振动测试系统组成.表1列出了齿轮箱的齿 数d和近邻点数k进行估计和选择.虚假近邻点法的 轮参数.多个传感器安装在齿轮箱的基座及箱体顶 基本思想是高维空间中并不相邻的两点投影到低维空 部，恰位于齿圈上方.本文分析通过箱体顶部传感器 间中可能会成为相邻的两点，而随着低维空间维数的 采集的振动信号，采集频率16384Hz,采样时间60s. 增加，虚假邻点也会被逐步剔除，从而使内嵌轨迹得到 连接齿轮箱太阳轮输入轴的旋转频率设为15.95Hz. 恢复[).方法的具体实现过程如下. 图3所示为用于仿真的带有局部磨损剥落损伤的齿轮 (1)设定本征维数为d(d≥1)，选取近邻点k= 实物照片.每个振动条件下采集100个样本，每个样 d+r,r为自然数且r≥2，通过ISOMAP对2进行降 本包含5000个离散数据点.随机选择50个样本作为 维获取低维矩阵Apx和Apxa) 训练数据，其他样本为测试数据，则四种工况下（正 (2)记⑧为4。xd中样本点6，的最近邻点，距 离为 R(d,e)=‖8-8rot‖. (8) (3)确定判断指标.定义虚假近邻点判断公式 a(d.) (9) 当a(d,e)大于阀值时，可判断虚假近邻点.但阀 值的确定涉及较多主观性.为避免主观性对判断结果 图2实验系统 的影响，定义 Fig.2 Experimental system H(d)=1R(d+1,e (10) p R(d,e) 表1行星齿轮箱参数 并按式(11)计算指标函数H(d) Table 1 Planetary gearbox configuration parameters H(d)=Hd+1) 齿轮 太阳轮行星轮（数量）齿圈 (11) H(d) 齿数 13 38(3) 92 2010/12101 图3齿轮局部损伤.(a)太阳轮：(b)行星轮：(c)齿圈 Fig.3 Localized gear damage:(a)sun gear;(b)planet gear;(c)ring gear工程科学学报,第 39 卷,第 5 期 (3)求低维流形. 将矩阵 DG作为 MDS 的输入从 而求得低维流形 驻p 伊 q . 2郾 3 本征维数估计与 k 近邻点选择 在流形学习过程中,涉及两个重要参数即本征维 数 d 与 k 近邻中样本个数 k 的确定. d 是降维的目标 维数,是拘束样本点保证数据内在结构所需坐标的最 小个数. k 值的选取和确定对流形学习的效果产生影 响. k 值过大容易导致局部几何结构的损失,而 k 值过 小则会引起计算错误. 通常 k 应满足范围 k逸d + 1 且 d逸1. 本文基于改进的虚假近邻点法,同时对本征维 数 d 和近邻点数 k 进行估计和选择. 虚假近邻点法的 基本思想是高维空间中并不相邻的两点投影到低维空 间中可能会成为相邻的两点,而随着低维空间维数的 增加,虚假邻点也会被逐步剔除,从而使内嵌轨迹得到 恢复[18] . 方法的具体实现过程如下. (1)设定本征维数为 d( d逸1), 选取近邻点k = d + r, r 为自然数且 r逸2, 通过 ISOMAP 对 赘 进行降 维获取低维矩阵 驻p 伊 d和 驻p 伊 (d + 1) . (2)记 啄 nearest i 为 驻p 伊 d 中样本点 啄i 的最近邻点,距 离为 R(d,e) = 椰啄e - 啄 nearest e 椰. (8) (3)确定判断指标. 定义虚假近邻点判断公式 琢(d,e) = R(d + 1,e) R(d,e) . (9) 当 琢(d,e)大于阀值时,可判断虚假近邻点. 但阀 值的确定涉及较多主观性. 为避免主观性对判断结果 的影响,定义 H(d) = 1 p 移 p e = 1 R(d + 1,e) R(d,e) . (10) 并按式(11)计算指标函数 H1 (d). H1 (d) = H(d + 1) H(d) . (11) (4)确定本征维数及最优 k 值. 遍历 r 值,步长为 1,且在 r 值一定时,遍历 d 重复计算步骤(1)、(2) 和 (3)直到 H1 (d)以单调递增的方式接近 1 且在 d 值大 于某个特定值 d忆时 H1 ( d)趋于平稳,此时 d忆即为本征 维数,对应的 k = d忆 + r. 3 实验信号分析 3郾 1 实验说明与信号采集 图 2 所示实验系统由电机及其控制器、一级行星 齿轮箱及振动测试系统组成. 表 1 列出了齿轮箱的齿 轮参数. 多个传感器安装在齿轮箱的基座及箱体顶 部,恰位于齿圈上方. 本文分析通过箱体顶部传感器 采集的振动信号,采集频率 16384 Hz,采样时间 60 s. 连接齿轮箱太阳轮输入轴的旋转频率设为 15郾 95 Hz. 图 3 所示为用于仿真的带有局部磨损剥落损伤的齿轮 实物照片. 每个振动条件下采集 100 个样本,每个样 本包含 5000 个离散数据点. 随机选择 50 个样本作为 训练数据,其他样本为测试数据,则四种工况下(正 图 2 实验系统 Fig. 2 Experimental system 表 1 行星齿轮箱参数 Table 1 Planetary gearbox configuration parameters 齿轮 太阳轮 行星轮(数量) 齿圈 齿数 13 38 (3) 92 图 3 齿轮局部损伤. (a) 太阳轮; (b) 行星轮; (c) 齿圈 Fig. 3 Localized gear damage: (a) sun gear; (b) planet gear; (c) ring gear ·772·