§2线性空间的定义与简单性质 线性空间的定义 例1在解析几何里,讨论过三维空间中的向量向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的 1°按平行四边形法则所定义的向量的加法是V3的一个运算 2解析几何中规定的实数与向量的乘法是RXV3到V的一个运算. 3°由知道,空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律 例2.数域P上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 定义1令V是一个非空集合,P是一个数域在集合的元素之间定义了一 种代数运算,叫做加法;这就是说给出了一个法则,,对于V中任意两个向量a与 B,在V中都有唯一的一个元素y与它们对应,称为a与B的和,记为y=a+B 在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对 于数域P中任一个数k与V中任一个元素a,在V中都有唯一的一个元素δ与它 们对应,称为k与α的数量乘积,记为δ=ka.如果加法与数量乘法满足下述规 则,那么V称为数域P上的线性空间 加法满足下面四条规则 1)a+b=B + 2)(a+B)+y=a+(B+y); 3)在V中有一个元素0,Va∈V,都有a+0=a(具有这个性质的元素0 称为V的零元素); 4)Va∈,3B∈Vsa+B=0(B称为a的负元素) 数量乘法满足下面两条规则 6)k(la)=(kD)a 数量乘法与加法满足下面两条规则§2 线性空间的定义与简单性质 一、线性空间的定义. 例 1 在解析几何里,讨论过三维空间中的向量.向量的基本属性是可以按 平行四边形规律相加，也可以与实数作数量算法.不少几何和力学对象的性质是 可以通过向量的这两种运算来描述的. 1 0 按平行四边形法则所定义的向量的加法是 V3的一个运算; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是 R×V3到 V3的一个运算. 3 0 由知道, 空间上向量的上述两种运算满足八条运算规律. 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律. 定义 1 令 V 是一个非空集合， P 是一个数域.在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算，叫做加法；这就是说给出了一个法则，.对于 V 中任意两个向量  与  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它们对应,称为  与  的和,记为  =  +  . 在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对 于数域 P 中任一个数 k 与 V 中任一个元素  ,在 V 中都有唯一的一个元素  与它 们对应,称为 k 与  的数量乘积,记为  = k .如果加法与数量乘法满足下述规 则，那么 V 称为数域 P 上的线性空间. 加法满足下面四条规则：: 1)  +  =  + ； 2) ( +  ) +  =  + ( +  ) ； 3) 在 V 中有一个元素 0, V ,都有  + 0 = （具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素）； 4)  V, V,st  +  = 0 (  称为  的负元素). 数量乘法满足下面两条规则： 5) 1 = ; 6) k(l) = (kl) ; 数量乘法与加法满足下面两条规则：