第7章群、环和域 若<G,为独异点，且*是可交换的，则称<G,为可换 的独异点。 例如，设A是任一集合，P(A)是A的幂集合。集合并运算 U在P(A)上是封闭的，并运算U的单位元O∈P(A),所以半 群<P(A),U>是独异点；交运算∩在P(A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元A∈P(A),所以半群<P(A),∩>也是独异点。 显然，并运算U和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3设<G,是可交换的独异点，H为其所有幂等 元的集合，则<H,>为独异点。 证明：a,beH,于是a*a=a,b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a=a*(b*b)*a a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是*beH,即*在H上封闭，显然HcG,根据定理7.1.1， <H,是半群。 因e*e=e,故e∈H。所以<H,>为独异点。第7章 群、环和域 若G, *为独异点，且*是可交换的，则称G, *为可换 的独异点。 例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交 运算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。 显然，并运算∪和交运算∩满足交换律。所以，它们都是可 交换独异点。 定理7.1.3 设G, *是可交换的独异点，H为其所有幂等 元的集合，则H, *为独异点。 证明：a,bH，于是a*a=a，b*b=b。由*是可交换的， 从而(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a =a*(b*a)=(a*a)*b=a*b 于是a*bH，即*在H上封闭，显然HG，根据定理7.1.1， H, *是半群。 因e*e=e，故eH。所以H, *为独异点