⑥将“不含端点的区间为开区间,包含所有端点的区间为闭区间”一般化为 “不含边界点的集合为开集,包含所有边界点的集合为闭集”,从而使概念直观 化,学生易于理解其实质,开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化 ⑦既注重知识的传授,又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部 分例子说明之。 如在引入依测度收敛时,先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围 二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言,积分与极限交换顺序需要一个苛刻 的条件:‘fn(x)在E上一致收敛于f(x)’。从集合论的角度讲:‘fn(x)在E上 一致收敛于f(x)’是指σ>0,彐N0>0,当n>No时,E[|fn(x)一f(x)|≥0] φ,之所以我们认为‘一致收敛’条件苛刻,就在于它要求E[|fn(x)-f(x) ≥0]从某项以后永远为空集。能否改成允许不空,甚至允许为正测度集,但必 须满足mE[|fn(x)-f(x)|≥o]→0(n→+∞)呢?这就导致了依测度收敛这个 新概念的产生”。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。 几→+O 又如在引入叶果落夫定理时,通过实例f(x)=x”处处”0于,却不一致收 敛出发究其原因是自变量越靠近0越收敛速度慢,只有更慢没有最慢,从而不可 能一致收敛。但不难看出,只要挖去一个以1为右端点的小区间(1-δ,1)后 就有收敛最慢点x=1-δ了,从而可以保证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果 落夫( ETOPOB)发现任何可测函数都有类似结果,这就是著名的叶果落夫 定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发,即将特例 抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。 再如对 Lebesgue积分定义,先在绪论中指出 Riemann积分的弊病,分析了产生 弊病的原因,提出了解决此弊病的方法,即对 Lebesgue改造积分定义的思路概括性 作了介绍,当我们在第五章通过几何意义直接定义 Lebesgue积分时,唯恐掩盖 Lebesgue原始创新思路,及时指出“mGn,E)便是f在分划Tn:E=∪E下的小 和s(r,T),即=mmG,E)=1m(frx)这与定义(R积分的分割、求和、 取极限三大步骤基本相似;区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间,(L)积分可 能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不 仅是达前后呼应的目的,更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题 分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程。⑥将“不含端点的区间为开区间，包含所有端点的区间为闭区间”一般化为 “不含边界点的集合为开集，包含所有边界点的集合为闭集”，从而使概念直观 化，学生易于理解其实质，开集与闭集的对偶性等定理证明被简化、思路直观化。 ⑦既注重知识的传授，又注重数学创新思维方法的挖掘和点拨。在此举仅部 分例子说明之。 如在引入依测度收敛时，先讲“改造积分定义的目的一是为了扩展可积范围， 二是为了使得操作更方便。对(R)积分而言，积分与极限交换顺序需要一个苛刻 的条件：‘f n (x)在 E 上一致收敛于 f(x)’。从集合论的角度讲：‘f n (x)在 E 上 一致收敛于 f(x)’是指∀ σ＞0，ョ N 0＞0，当 n＞N 0时，E[|f n (x)－f(x)|≥σ] ＝φ，之所以我们认为‘一致收敛’条件苛刻，就在于它要求 E[|f n (x)－f(x)| ≥σ]从某项以后永远为空集。能否改成允许不空，甚至允许为正测度集，但必 须满足 mE[|f n (x)－f(x)|≥σ]→0(n→＋∞)呢？ 这就导致了依测度收敛这个 新概念的产生”。展示了数学创新过程中一些重要的新概念引入之思维方法。 又如在引入叶果落夫定理时，通过实例 f(x)=x n →+∞  → n 处处 0 于[01)，却不一致收 敛出发究其原因是自变量越靠近 0 越收敛速度慢，只有更慢没有最慢，从而不可 能一致收敛。但不难看出，只要挖去一个以 1 为右端点的小区间（1-δ，1）后 就有收敛最慢点 x=1-δ了，从而可以保证一致收敛了。著名的俄国数学家叶果 落夫（ЕгОРОВ）发现任何可测函数都有类似结果，这就是著名的叶果落夫 定理。展示了数学中一些重要结果的发现来源于常见简单离子的启发，即将特例 抽象化、一般化后就会得出重要的带普遍性的结果。 再如对 Lebesgue 积分定义，先在绪论中指出 Riemann 积分的弊病，分析了产生 弊病的原因，提出了解决此弊病的方法，即对 Lebesgue 改造积分定义的思路概括性 作了介绍，当我们在第五章通过几何意义直接定义 Lebesgue 积分时，唯恐掩盖 Lebesgue 原始创新思路，及时指出“mG( E) n Φ , 便是 f 在分划Tn :E＝ U 2 1 1 + = n n k Ek 下的小 和 s(f,Tn )，即 ( ) ( ) n n n E n fdx limmG , E lim s f ,T →∞ →∞ = Φ = ∫ 。这与定义(R)积分的分割、求和、 取极限三大步骤基本相似；区别仅在于(R)积分直接将定义域分成区间，(L)积分可 能是通过将值域分成区间后反过来将定义域分成有限个不一定是区间的集合。”不 仅是达前后呼应的目的，更重要的是展示了数学新体系形成过程中的“提出问题、 分析问题、克服障碍解决问题、最后完善方法、简化思路”数学创新过程