有理薮相对无理数而言是那样的微不足道,有他不多,无他不少。即无理数居然与 实数一样多。 二是“似非而是” 例2:有理数在直线上密密麻麻,自然数在直线上稀稀拉拉,如果以前有人说 自然数与有理数一样多的话,没人敢承认,而《实变函数论》通过严密论证该结论 无可非议。 理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的,因它只做一件事:恰当的改 造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理 论上的准备,很少有应用、例题的原因。 3.学习实变函数论的方法 针对实变函数论的特点,学习它应有本门课程独特的方法 由于实变函数论高度抽象,对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度,不能 简单类比后就盲目承认和否定,必须严格论证或举出反例,否则就有可能出现例1、 例2类似的错误;对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住,更重要的是理解其证 明,想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法,同时也只有想象其 合理的直观意义,才能有开阔的思路,即严密与直观二者不可偏废。 4.对课程内容的几点特色处理 简化①在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上,引入了开集体 积概念,为简化测度定义奠定了基础 ②用mE=infG开且GB取代mE=nflE}不仅使测 度概念形式上得到简化、直观化,更重要的是使得诸如mI=等一系列命题的 证明过程得到大大简化 ③将大部分教材留到讲 Fubini定理时才讲的乘积空间的测度,提前到紧接 着测度的概念和性质讲,以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可 测,从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。 ④直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值,不仅使得积分概念 简单、直观、明了,让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求 和、Levi定理等一系列命题的证明过程得到大大简化 ⑤在本教材中不依赖 Rieman积分定义,直接从 Lebesgue积分定义出发证 明计算积分的重要工具牛顿——莱布尼兹公式,为将来实现 Lebesgue积分取代 Riemann积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了 Riemann 积分的事实,研究了 Riemann积分和广义 Riemann积分与 Lebesgue积分关系。有理数相对无理数而言是那样的微不足道，有他不多，无他不少。即无理数居然与 实数一样多。 二是“似非而是” 例２：有理数在直线上密密麻麻，自然数在直线上稀稀拉拉，如果以前有人说 自然数与有理数一样多的话，没人敢承认，而《实变函数论》通过严密论证该结论 无可非议。 理论性强是由于实变函数论的内容结构所决定的，因它只做一件事：恰当的改 造积分定义使得更多的函数可积。这就使得实变函数论的绝大部分篇幅都是在作理 论上的准备，很少有应用、例题的原因。 3.学习实变函数论的方法 针对实变函数论的特点，学习它应有本门课程独特的方法。 由于实变函数论高度抽象，对于每一个尚未证明的结论都应持谨慎态度，不能 简单类比后就盲目承认和否定，必须严格论证或举出反例，否则就有可能出现例１、 例２类似的错误；对于每一个已经证明的结论不仅仅是记住，更重要的是理解其证 明，想象其合理的直观意义。只有理解其证明才能借鉴其方法，同时也只有想象其 合理的直观意义，才能有开阔的思路，即严密与直观二者不可偏废。 ４．对课程内容的几点特色处理 简化①在过去“区间体积”概念和“开集构造”理论基础上，引入了开集体 积概念，为简化测度定义奠定了基础。 ②用 m* E=inf {|G|｜Ｇ开且 G ⊃ E}取代 m* E=inf { I I E i i i i ⊃ +∞ = +∞ = ∑ U 1 1 ; }不仅使测 度概念形式上得到简化、直观化，更重要的是使得诸如 m* Ｉ= I 等一系列命题的 证明过程得到大大简化。 ③将大部分教材留到讲Ｆubini 定理时才讲的乘积空间的测度，提前到紧接 着测度的概念和性质讲，以保证在讲可测函数时能证明可测函数的下方图形可 测，从而最终保证直接用非负可测函数下方图形的测度规定其积分值。 ④直接用正、负部函数下方图形的测度之差规定积分值，不仅使得积分概念 简单、直观、明了，让学生易于接受。同时也使得诸如并集积分等于各集积分求 和、Levi 定理等一系列命题的证明过程得到大大简化。 ⑤在本教材中不依赖Ｒiemann 积分定义，直接从 Lebesgue 积分定义出发证 明计算积分的重要工具牛顿——莱布尼兹公式，为将来实现 Lebesgue 积分取代 Ｒiemann 积分的大趋势作必要的准备。同时也面对现在学生确实学了Ｒiemann 积分的事实，研究了Ｒiemann 积分和广义Ｒiemann 积分与 Lebesgue 积分关系