函数可测的定义。 有了以上准备之后,才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大 (小)和 S(D,)=∑ymE ≤f<y (s(D.,)=∑y-mEv1≤f<y] 然后规定supS(D,)=ifs(D,/)为积分值,定义并讨论新积分的性质即第 五章内容)。 以上所述,既是 Lebesgue创立新积分的原始思路,也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法 鉴于人们在研究可测函数时发现:可测函数的本质特征是正、负部函数的下方 图形均为可测集。结合 Riemann积分的几何意义,使我们自然想到:与其说测度推 广了定义域的长度(面积、体积)概念后使得我门作大、小和更加灵活多样,以达 推广积分的目的,不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积(体积)概念的推 广,使得大量的象 Dinichni函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积(体积) 了,从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值 (如果差存在的话)的办法,该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大 (小)和、确界概念的繁琐,又成功地回避了先在测度有限,函数有界条件下讨论 积分性质,然后推广到测度无限,函数无界的一般情形的重复、哆嗦。 2.实变函数论的特点 由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯,学习起来应该简单,然而实际 情况却大相径庭,各届同学都叫困难。原因在何处呢?原因在于高度抽象,理论性 强 抽象到什么程度呢?仅据两例说明之: 是“似是而非”。 例1:若许多同学站成一列,且男女生交叉排列,任意两个男生中间有女生 任意两个女生中间有男生,在其中任取一个片段,男女生的个数无非有三种可能: 或男女生一样多或男生多一个或女生多一个,也就是说在任一片段中男女生个数至 多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似,任意两个有理数中间有无 理数,任意两个无理数中间有有理数,在其中任取一节线段,有理数、无理数的个 数似乎无非只有三种可能:或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多 个,也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理 告诉我们:这种说法是错误的,事实上,有理数比无理数少得多。少到什么程度?函数可测的定义。 有了以上准备之后，才根据前述思路对可测集上定义的可测函数先定义大 （小）和 ( ) [ ] i i n i i S D f = y mE y ≤ f < y − = ∑ 1 1 , ， （ ( ) [ ] i i n i i s D f = y mE y ≤ f < y − = ∑ − 1 1 1 , ） 然后规定 S () () D f ( s D f ) D D sup , = inf , 为积分值，定义并讨论新积分的性质(即第 五章内容)。 以上所述，既是 Lebesgue 创立新积分的原始思路，也是传统教材介绍 Lebesgue 积分定义的普遍方法。 鉴于人们在研究可测函数时发现：可测函数的本质特征是正、负部函数的下方 图形均为可测集。结合 Riemann 积分的几何意义，使我们自然想到：与其说测度推 广了定义域的长度（面积、体积）概念后使得我门作大、小和更加灵活多样，以达 推广积分的目的，不如说由于定义域与实数域的乘积空间的面积（体积）概念的推 广,使得大量的象 Dinichni 函数那样图形极其不规则的下方图形可以求面积（体积） 了，从而拓宽了可积范围。于是我们在本教材中采取直接规定其测度之差为积分值 （如果差存在的话）的办法，该定义简单、明了、直观。既有效地避免了分划、大 （小）和、确界概念的繁琐，又成功地回避了先在测度有限，函数有界条件下讨论 积分性质，然后推广到测度无限，函数无界的一般情形的重复、哆嗦。 2.实变函数论的特点 由以上叙述可以看出《实变函数论》内容单纯，学习起来应该简单，然而实际 情况却大相径庭，各届同学都叫困难。原因在何处呢？原因在于高度抽象，理论性 强。 抽象到什么程度呢？仅据两例说明之： 一是“似是而非”。 例１：若许多同学站成一列，且男女生交叉排列，任意两个男生中间有女生， 任意两个女生中间有男生，在其中任取一个片段，男女生的个数无非有三种可能： 或男女生一样多或男生多一个或女生多一个，也就是说在任一片段中男女生个数至 多相差一个。直线上的有理数、无理数表面看来很类似，任意两个有理数中间有无 理数，任意两个无理数中间有有理数，在其中任取一节线段，有理数、无理数的个 数似乎无非只有三种可能：或有理数、无理数一样多或有理数多一个或无理数多一 个，也就是说在任一片段中有理数、无理数个数至多相差一个。但严密的逻辑推理 告诉我们：这种说法是错误的，事实上，有理数比无理数少得多。少到什么程度？