绪论 1.实变函数论的内容 顾名思义,实变函数论即讨论以实数为变量的函数,这样的内容早在中学 都已学过,中学学的函数概念都是以实数为变量的函数,大学的数学分析,常微 分方程都是研究的以实数为变量的函数,那么实函还有哪些可学呢?简单地说: 实函只做一件事,那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann积分定义使得更多 的函数可积 何以说明现有《数学分析》中 Riemann积分范围小了呢?因为 D(x)J0,x为无理数时 l,x为有理数时 这样形式极为简单的函数都不可积,所以我们认为积分范围狭窄。 如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢?让我们先剖析一下造成 这一缺陷的根本原因在何处,只有先找准病根,然后才能对症下药。由数学分析 知:对任意分划T:a=x0<x1<x2<…<xn=b,由于任意一个正长度区间内 既有有理数又有无理数,所以恒有 S(T,D)一s(T,D)≡1-0=1 如果分划不是这样呆板,这样苛刻地要求一定要分成区间的话,还是有可能满 足大小和之差任意小的。比如,只要允许将有理数分在一起,将无理数分在一起, 那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点,首先让分化概念更加广泛,更 加灵活,从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即 D:E=∪Ev≤f<y],其中m≤fM,m=m=%<y<…<yn=M时,要 s,f)-s,f)=∑v;-y-mE≤f<y]mav-y21]mE<E,只须 mav1-y]k6,这里mEv≤f<y]相当于集合Ev≤f<]的长度。 Lebesgue正是基于这个思路创立了 Lebesgue积分理论。 思路非常简单,但实现起来并非易事,因为E≤f<y]可能很不规则,如何 求m1≤f<y]呢?这就是一般集合的测度问题(即第三章内容),而测度理论所 度量的对象是集合,尤其是多元函数定义域所在空间R"的子集。因此,必须先介绍 集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积 体积概念到一般g的集合,然而在实施过程中却使我们非常遗憾,我们无法对直线 上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求:一、落实到具体区间的测 度就是长度(即测度确为长度概念的推广);二、总体测度等于部分测度之和(即可 列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度,这一部分集合 便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如E≤f<y】]的集合 可测呢?这就是可测函数理论问题(即第四章内容),由于 E,≤f<y]=E2y2]E{≥],所以我们采用对va,有E2l]可测,作为绪 论 1.实变函数论的内容 顾名思义，实变函数论即讨论以实数为变量的函数，这样的内容早在中学 都已学过，中学学的函数概念都是以实数为变量的函数，大学的数学分析，常微 分方程都是研究的以实数为变量的函数，那么实函还有哪些可学呢？简单地说： 实函只做一件事，那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann 积分定义使得更多 的函数可积。 何以说明现有《数学分析》中 Riemann 积分范围小了呢？因为 D(x)＝    ， 为有理数时 为无理数时 x x 1 0, 这样形式极为简单的函数都不可积， 所以我们认为积分范围狭窄。 如何改造积分定义来达到拓广积分范围的目的呢？让我们先剖析一下造成 这一缺陷的根本原因在何处，只有先找准病根，然后才能对症下药。由数学分析 知：对任意分划 T：a＝ x0 < x1 < x2 < L < xn = b ， 由于任意一个正长度区间内 既有有理数又有无理数，所以恒有： S(T,D)－s(T,D)≡1－0=1 如果分划不是这样呆板，这样苛刻地要求一定要分成区间的话，还是有可能满 足大小和之差任意小的。比如，只要允许将有理数分在一起，将无理数分在一起， 那么大小和之差就等于零了。这就是问题的着眼点，首先让分化概念更加广泛，更 加灵活，从而可将函数值接近的分在一起以保证大小和之差任意小。即 D:E＝U [ ] n i i i E y f y 1 1 = − ≤ < ，其中 m≤f<M，m＝m = y0 < y1 <L < yn = M 时，要 Ｓ (D,f)-s(D,f)= [ ][ ] [ ] − ⋅ ≤ < ≤ − ⋅ < ε − ≤ ≤ − = ∑ y y − mE y f y yi yi mE i n i i n i i i 1 1 1 1 1 max ，只须 [ ] mE y y i i i n ε − − < ≤ ≤ 1 1 max ，这里 [ ] i i mE y ≤ f < y −1 相当于集合 [ ] i i E y ≤ f < y −1 的长度。 Lebesgue 正是基于这个思路创立了 Lebesgue 积分理论。 思路非常简单，但实现起来并非易事，因为 [ ] i i E y ≤ f < y −1 可能很不规则，如何 求 [ ] i i mE y ≤ f < y −1 呢？这就是一般集合的测度问题(即第三章内容)，而测度理论所 度量的对象是集合，尤其是多元函数定义域所在空间 R n 的子集。因此，必须先介绍 集合与点集知识(即第一章、第二章内容)。测度理论本来是为了推广长度、面积、 体积概念到一般 g 的集合，然而在实施过程中却使我们非常遗憾，我们无法对直线 上所有集合规定恰当测度使得满足以下两点最基本要求：一、落实到具体区间的测 度就是长度(即测度确为长度概念的推广)；二、总体测度等于部分测度之和( 即可 列可加性成立)。只能对部分集合规定满足这两点基本要求的测度， 这一部分集合 便是可测集合(即第四章内容)。那么哪些函数才能保证形如 [ ] i i E y ≤ f < y −1 的集合 可测呢？这就是可测函数理论问题 ( 即第四章内容 ) ，由于 [ ][ ] [ ] i i i i E y ≤ f < y = E f ≥ y − E f ≥ y −1 −1 ，所以我们采用对∀a ,有 E[f≥a]可测，作为