第十一章多元函数积分学 第一节二重积分的概念与计算 思考题: 1.把一元定积分的数学模型推广到二维空间,可以得到一个式子 f(xya=,m∑/(5,n)1o AoF>0 你对这个式子要说些什么?回顾一元定积分的定义,可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型,被称为二重积分的定义,你将获得一次创造思维的锻炼,对微元法模型的理 解会更深刻,不妨一试 答:在式m∑/(5,m)10中,40,表示将平面区域D任意分割成n份后所得 第i个小区域的面积,(51,n1)是取自于第i个小区域内的任何一点的坐标,f(51,n)是二 元函数z=f(x,y)在点(5,n)处的函数值,|o表示所有n个小区域的直径中的最大值 上式即表示,当函数z=f(x,y)在平面区域D内有定义时,可将平面区域D任意分割 成n个小区域,记4σ1为第i个小区域的面积,然后在第i个小区域中任取一点(51,n,),作 乘积/51,n)4的和∑/(,n),若此和式的极限,m∑/(5,n)0存在 则称二元函数二=f(x,y)在区域D上可积,并称上述极限值为二元函数z=f(x,y)在区 域D上的二重积分 2.试述二重积分的几何意义 答:当f(xy在区域D上满足f(xy)≥0时,f(xyG代表以xO面内的区域D 为底,以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积若f(x,y)<0,则表示体积的负值 3.直角坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,②选择积分次序并确定积分限,③计算 累次积分求得结果。其关键点是恰当选择积分次序,正确确定积分限. 4.在极坐标系下,计算二重积分的主要步骤有哪些,其关键点是什么? 答:主要步骤包括:①画出积分区域D的图形,并用极坐标描述D,②确定积分限,③ 计算累次积分求得结果其关键点是用极坐标正确描述积分区域D 5.就二重积分的积分域而言,当积分域具有什么样的特征时,选择在直角坐标系(或 极坐标系)下计算该二重积分第十一章 多元函数积分学 第一节 二重积分的概念与计算 思考题： 1. 把 一 元 定 积 分 的 数 学 模 型 推 广 到 二 维 空 间 ， 可 以 得 到 一 个 式 子 ( ) ( ) i n i i D f x y  f      = → = 1 i 0 , d lim , ， 你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完 整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理 解会更深刻，不妨一试. 答：在式 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 中，  i 表示将平面区域 D 任意分割成 n 份后所得 第 i 个小区域的面积, ( , )  i i 是取自于第 i 个小区域内的任何一点的坐标, ( , ) i i f   是二 元函数 z = f (x, y) 在点 ( , )  i i 处的函数值,  表示所有 n 个小区域的直径中的最大值. 上式即表示, 当函数 z = f (x, y) 在平面区域 D 内有定义时, 可将平面区域 D 任意分割 成 n 个小区域, 记  i 为第 i 个小区域的面积, 然后在第 i 个小区域中任取一点 ( , )  i i , 作 乘积 ( , ) i i f    i 的和 ( ) i n i i  f    =1 i , , 若此和式的极限 ( ) i n i i f     = → 1 i 0 lim , 存在, 则称二元函数 z = f (x, y) 在区域 D 上可积, 并称上述极限值为二元函数 z = f (x, y) 在区 域 D 上的二重积分. 2. 试述二重积分的几何意义. 答：当 f (x, y) 在区域 D 上满足 f (x, y)  0 时， ( , )d  D f x y 代表以 xOy 面内的区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积. 若 f (x, y)  0 , 则表示体积的负值. 3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算 累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限. 4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？ 答：主要步骤包括：①画出积分区域 D 的图形，并用极坐标描述 D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域 D . 5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或 极坐标系）下计算该二重积分