主持人:这是一会儿的讲演内容吗? 武际可:对。 主持人:好,请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告,深入浅出的学 术报告,叫做“什么是分岔”。好,有请。 武际可:我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation,这个词 在中文里头大概有六种翻译,我看到的有六种翻译,每个含义用词都用得不一样 有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。这个概念最近几十年大概在自然 科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多,比如说化学、物理、力学、数 学都很多,还有气象学等等吧,说明它比较重要。那么,这个名词不像刚才主持 人说的道路分岔那么具体,它是一个抽象概念,为了说明这个概念,我们这样来 讲,先从一个例子开始,讲一个例子。这是一个圆,上头有一个光滑的环,对 吧?我把它这个大圆垂直放的时候,那么这个小环总是在下头平衡,大家看清楚 了,我怎么放它都是平衡的,最后滑在下头,现在我让这个环转起来,对吧,这 样转,我给这个圆环这样一个角速度,转起来以后,如果我这个角速度很小,大 家看了,这个小环呢,还是呆在这个底下,这个位置总是一个平衡位置,等我转 的这个角速度大到某一定的程度,大家注意看,现在这个环就跑在另外一个地方 平衡,如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话,那么我们就可以列出一个 平衡方程来,这个很简单,这个小环受三个力,一个是离心力、一个是重力、还 有一个大环给它的约束反力,这两个力的正切应该就等于这个反力,所以那个方 程很容易写出来。写出这个方程,带星号的那个就是这个平衡方程,两个惯性 力和重力之比就等于那个约束反力,约束反力的角度,这个方程把它上头的质量 和下头的质量消掉以后就得到下头,一分解因式正好是两个,一个是sin;另外 个就是括弧里头这个,这个方程有两个解,一个解就是上头的θ等于零,就是 永远这个角度等于零,放在这个位置是一个平衡点,还有一个解呢,是下头那个 表示的这个解,下头那个式子表示呢,就是我这个角速度使得括弧里头的那一项 变成一的时候,θ就开始,从零开始要往下飞了,在一定的角速度就离开原来的 平衡点,然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢,实际上是两个 解,两支,两支都随着Ω变,一支就是θ永远等于零,就是这一支,另外一支 是那一支,这边是对称的,另外一边我没有画,这两支的焦点T就是分岔点,我 们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中我们应该看到的最常见的一个分岔问 题,那么我们就问,一个分岔问题需要一些什么条件呢?我把它归结有需要三 个条件:第一个条件,要有一个参数系统描述这个客观系统的状态,我们这个例 子里头就是这个角度,这个角度不同,平衡的位置就不同;第二个,要有一个描主持人：这是一会儿的讲演内容吗？ 武际可：对。 主持人：好，请武教授马上给咱们带来一场精彩的学术报告，深入浅出的学 术报告，叫做“什么是分岔”。好，有请。 武际可：我今天讲的是关于分岔的问题。分岔在英文叫做 Bifurcation，这个词 在中文里头大概有六种翻译，我看到的有六种翻译，每个含义用词都用得不一样， 有的叫分叉、有的叫分枝、还有的叫分歧等等。这个概念最近几十年大概在自然 科学甚至于社会科学、经济学等等领域用得很多，比如说化学、物理、力学、数 学都很多，还有气象学等等吧，说明它比较重要。那么，这个名词不像刚才主持 人说的道路分岔那么具体，它是一个抽象概念，为了说明这个概念，我们这样来 讲，先从一个例子开始，讲一个例子。 这是一个圆，上头有一个光滑的环，对 吧？我把它这个大圆垂直放的时候，那么这个小环总是在下头平衡，大家看清楚 了，我怎么放它都是平衡的，最后滑在下头，现在我让这个环转起来，对吧，这 样转，我给这个圆环这样一个角速度，转起来以后，如果我这个角速度很小，大 家看了，这个小环呢，还是呆在这个底下，这个位置总是一个平衡位置，等我转 的这个角速度大到某一定的程度，大家注意看，现在这个环就跑在另外一个地方 平衡，如果我们取一个角度表示这个小环的位置的话，那么我们就可以列出一个 平衡方程来，这个很简单，这个小环受三个力，一个是离心力、一个是重力、还 有一个大环给它的约束反力，这两个力的正切应该就等于这个反力，所以那个方 程很容易写出来。 写出这个方程，带星号的那个就是这个平衡方程，两个惯性 力和重力之比就等于那个约束反力，约束反力的角度，这个方程把它上头的质量 和下头的质量消掉以后就得到下头，一分解因式正好是两个，一个是 sinθ；另外 一个就是括弧里头这个，这个方程有两个解，一个解就是上头的 θ 等于零，就是 永远这个角度等于零，放在这个位置是一个平衡点，还有一个解呢，是下头那个 表示的这个解，下头那个式子表示呢，就是我这个角速度使得括弧里头的那一项 变成一的时候，θ 就开始，从零开始要往下飞了，在一定的角速度就离开原来的 平衡点，然后跑到另外一个平衡点了。我们看到这个问题的解呢，实际上是两个 解，两支，两支都随着 Ω 变，一支就是 θ 永远等于零，就是这一支，另外一支 是那一支，这边是对称的，另外一边我没有画，这两支的焦点 T 就是分岔点，我 们就说的分岔点。这个问题是一个生活当中我们应该看到的最常见的一个分岔问 题， 那么我们就问，一个分岔问题需要一些什么条件呢？我把它归结有需要三 个条件：第一个条件，要有一个参数系统描述这个客观系统的状态，我们这个例 子里头就是这个角度，这个角度不同，平衡的位置就不同；第二个，要有一个描