第2期 赵敬，等：复杂网络上同时考虑感染延迟和非均匀传播的SR模型 ·129· 在内的诸多专家学者的关注[4].Kephart和 为NTD-SR模型)对传播阈值的影响，大量的仿真 White89]提出了基于传染病建模的均匀网络分析模 实验也证实了平均场解析的结果，表明了感染延迟 型，这个模型基于SIS(susceptible-infected-suscepti- 会减小传播阈值，增强疾病的传播；而非均匀传输增 ble)模型，并假设网络中的每个个体和其他任意一 大临界值，进而阻碍疾病的传播，这一结论有助于设 个个体接触的概率是相等的.Kermack和McKen- 计有效的疾病传播控制策略. drick研究了SR模型，他们的研究显示：在人口 1 NTD-SIR模型 密度低于某个特定值的时候，任何的疾病都不会在 网络上肆意地传播.非零传播阈值的发现是传染病 标准的SR模型将个体分为易感染者(S)、感 学研究史上的一个里程碑.然而，大量的证据显示现 染者(I)和康复者(R).易感染者是健康个体，但是 实世界中许多网络并不具备这种同质性，现实世界 以概率B∈[0,1]感染上疾病，感染者是已经感染疾 中网络往往兼具规则性和随机性，比如很多自然、社 病的患者并以概率γy∈[0,1]恢复成为康复者. 会和工程网络系统都被发现同时具有小世界特性 标准的SR模型可以用式(1)表示： (small--world,SW)和无标度(scale-free,SF)特 ds(t) 性2].人们把具有SW和SF等特性的真实网络 dt =-Bs(t)p(t), 称为复杂网络，复杂网络的研究为深入剖析现实世 dp(t) dt =Bs(t)p(t)-yp(t), (1) 界中网络拓扑结构对疾病或病毒的传播行为提供了 新的视角13].其中，Pastor-Satorras和Vespignani发 dr(t) dt =-yp(t). 表了一系列有影响的文章416，他们发现，在度分 布呈现幂律分布P(k)=k(P(k)表示一个节点度 式中：s(t)p(t)、(t)分别代表了健康个体、感染个 为k的概率)的网络（即无标度scale-free网络）中， 体和康复个体占总人数的百分比，且s()+p(t)+ 疾病传播临界值为入。=<k>/<2>.尽管这个假 (t)=1,有效传播率入=B/y,为不失一般性，取 设并不完全符合现实世界的情况，但是他们的研究 y=1. 隐含了一个重要的结论：若网络规模无限增大，当趋 本文所提出的NTD-SIR模型如图1表示，假设 于无限大时，无标度网络将不再有非零的传播阈值。 一个易感染个体(S),在t时刻被它的邻居感染，它 在文献[17]中，Moreno等使用SIR模型在SF网络 会保持已感染状态直到时间t+T+1(称T为感染 上做的实验也得到了相似的结论：在疾病传播期间， 延迟)，实际上，T是因人而异的，但是在这里假设T 当传播率大于某一个临界值的时候，疾病会大规模 对每个人都是相等的.，1，…，1表示不同时间阶 传播；否则，疾病会自发地消亡.因此，要想能够有效 段的状态为I的个体，在每个时间步，状态为S的个 地控制疾病在网络上的扩散，有必要找出传播阈值， 体将以概率入()被依次转换成为状态I。,然后依次 进而制定有效的抑制措施1825]」 进入I1,L2,…,Ir,只有状态为I,的个体能够以概率 经典的SIS和SIR模型假定感染个体不会被延 y被治愈成为状态为R的个体.在t时刻，一个已经 时治疗，并假定每个感染者试图感染其每一接触邻 感染的个体想要去感染它的所有状态为S的邻居， 居等，这些情况在现实条件下通常并不能满足.例 假设有效传播率入=B/Y是一个和度相关的函数 如，Wag等2基于SR模型考虑非均匀传输在疾 入(k),也就是说一个状态为I的个体的感染率不是 病传播中的作用，分析得到了相应的感染临界值公 简单地等于它的度. 式；Xu等研究了传播延时对SW和SF网络中疾 ⑧☑☑☑R 病传播的影响，实验结果证实了时间延迟能够极大 图1 NTD-SIR模型 地助长疾病的传播.在此基础上，文献[28]将时间 Fig.1 NTD-SIR epidemic model 延迟的概念引入到了S$模型中，并在局域世界网 1.1同质网络 络中做了仿真实验，结论证明了局域世界的大小和 在同质网络中，节点的度变化不大，度分布呈 感染延迟都能够促进疾病的传播.但是，文献[27- Poisson分布（如随机网络、小世界网络）或delta分 28]没有给出感染延时对感染临界值的影响，本文 布（如规则晶格），模型传播有如下特征， 同时将感染延迟和依赖于度的感染率的非均匀传输 定理1对于同质网络，NTD-SR模型的传播 引入到经典SR模型中，基于平均场理论研究改进 后的考虑非均匀传输和感染延迟的SR模型（简称 阔值为6(T+)当入<6时，疾病消亡