解:由于0<1≤1 故x∈S,有≤x<1。从而supS=1,infS= 先验证supS=1:由上已知vx∈S,有x1。又由于VE>0,3k∈N,,使得xk=1 ∈S,且x4=1-)1-E。 再证infs=:由上已知XES,》、≤x。又由于VE>0,3x+1-。1 2y∈S,且 §2的第5题)设S为非空有下界数集。证明:infs=∈S5=mins 证明:1)→)设infS=∈S,则x∈S,有x≥5,而∈S,故是S中最小的数 即5 2)<)设5=mins,则ξ∈S。下证infS=5。 ①yx∈S,有x≥5,即5是S的下界;②Vβ>,只须取x。=5∈S,则x<B, 从而B不是S的下界。故ξ=infs 4、(§4第1题)证明f(x)= 是R上的有界函数。 x2+1 证明:已知x∈R,有2x≤1+x2。从而x∈R,有1x|/、2x 1+x 数f(x)=-3在R上有界。 5、(§4第5(3)题)求函数y=os、4几) +2sin-的周期。 解:因为cos=cos(-+2π)=cos(-+ x+4丌 2,所以函数y=Cs的 周期是4m;又因为sin=sin(+2m)=in(+6孔)=513所以函数3 x+6丌 的周期是6Ⅱ。故函数 y=cos-+2sin x的周期是12x。 6、(§4第8题)设f为定义在D上的有界函数,证明 (1) sup (f(x))=-inf f(x):(2)inf f(x)=-sup f(x)o 证明:先证等式supf-f(x)}=-ntff(x)成立。 设nff(x)=5,则由下确界定义知,Vx∈D,有f(x)≥5,即-f(x)≤-5, 可见-5是-f(x)的一个上界;且E>0,彐x∈D,使得f(x0)<5+E,即-f(x0)-5-E7 解：由于 0< n 2 1 ≤ 2 1 ，故  x  S，有 2 1 ≤x<1。从而 supS=1，infS= 2 1 。 先验证 supS=1：由上已知  x  S，有 x<1。又由于   >0， k  N+ ，使得 k x =1- k 2 1  S，且 k x =1- k 2 1 >1-  。 再证 infS= 2 1 ：由上已知  x  S，有 2 1 ≤x。又由于   >0，  1 x =1- 2 1 = 2 1  S，且 1 x < 2 1 +  。 3、（§2 的第 5 题）设 S 为非空有下界数集。证明：infS=   S   =minS。 证明：1）  ）设 infS=   S，则  x  S，有 x≥  ，而   S，故  是 S 中最小的数， 即  =minS。 2）  ）设  =minS，则   S。下证 infS=  。 ①  x  S，有 x≥  ，即  是 S 的下界；②   >  ，只须取 0 x =  S，则 0 x <  ， 从而  不是 S 的下界。故  =infS。 4、（§4 第 1 题）证明 f（x）= 1 2 x + x 是 R 上的有界函数。 证明：已知  x  R，有 2x≤1+ 2 x 。从而  x  R，有| 2 1 x x + |≤| 2 1 2 x x + |≤1，即函 数 f（x）= 1 2 x + x 在 R 上有界。 5、（§4 第 5（3）题）求函数 y=cos 2 x +2sin 3 x 的周期。 解：因为 cos 2 x =cos（ 2 x +2π）=cos（ 2 x + 2 4 ）=cos 2 x + 4 ，所以函数 1 y =cos 2 x 的 周期是 4π；又因为 sin 3 x =sin（ 3 x +2π）=sin（ 3 x + 3 6 ）=sin 3 x + 6 ，所以函数 2 y =sin 3 x 的周期是 6π。故函数 y=cos 2 x +2sin 3 x 的周期是 12π。 6、（§4 第 8 题）设 f 为定义在 D 上的有界函数，证明： （1） xD sup {-f（x）}=- xD inf f（x）；（2） xD inf f（x）=- xD sup f（x）。 证明：先证等式 xD sup {-f（x）}=- xD inf f（x）成立。 设 xD inf f（x）= ，则由下确界定义知，  x  D，有 f（x）≥  ，即- f（x）≤-  ， 可见- 是- f（x）的一个上界；且   >0， 0 x  D ，使得 f（ 0 x ）<  +  ，即- f（ 0 x ）>- - 