51设(x)=x2-y2,(xy)≠(0,(00=0.证明 (/rex, d dy+5('f(x, )ld adr 52.计算积分/=C”ye-x) )y dxdy,并且由此证明 53.设f(x,y)在[0,1×[0上L可积.证明 ∫df(x,y=小(xy 54.设∫在Oa上L可积,8()=f∥证明「gdt=h 提示8(x)=°f(u1.(0)d 55.设E是R”上的L可测集,∫是E上有界的L可测函数,并且存在M>0和 0<a<1,使得 m({x∈E,(x)>4})< 证明∫在E上L可积 56设∫是R上的L可积函数,a>0.证明一。f(mx)→0ae 提示:先证明 f(nx + 57.设(X,A)和(Y,⑧)是两个可测空间,∫是X到Y的映射.使得对任意 B∈B,都有f(B)∈(称f是(X,4)到(Y,B)的可测映射)又设若H是(X,) 上的测度.证明 ().(逆像测度)集函数 v(B)=A(f-(B),B∈B 是(H,Z)上的测度(称之为关于∫的逆像测度) (i).(积分的变量代换公式)若g是(Y,)上的可测函数,则成立 「g()d= 上式表示当等式一边的积分存在时,等式另一边的积分也存在,并且两边相等 提示:先对g=l是特征函数证明 58.设{fn}是可测函数列称{fn}是一致可积的,若139 51. 设 f (x, y) = , ( ) 2 2 2 2 2 x y x y + − (x, y) ≠ (0,0), f (0,0) = 0. 证明 ( , ) ( , ) . 1 0 1 0 1 0 1 ∫ ∫0 ∫ ∫        ≠      f x y dx dy f x y dy dx 52. 计算积分 ∫ ∫ +∞ +∞ − + = 0 0 (1 ) 2 2 I ye dxdy x y , 并且由此证明 . 0 2 2 π = ∫ +∞ − e dx x 53. 设 f (x, y) 在[0,1]×[0,1]上 L 可积. 证明 ( , ) ( , ) . 1 0 1 1 0 0 dx f x y dy dy f x y dx y x ∫ ∫ ∫ ∫ = 54. 设 f 在 [0, a] 上 L 可 积 , . ( ) ( ) dt t f t g x a ∫x = 证 明 ∫ ∫ = a a gdx fdx 0 0 . . 提示: ( ) . ( ) ( ) [ , ] 0 I t dt t f t g x x a a ∫ = 55. 设 E 是 n R 上的 L 可测集, f 是 E 上有界的 L 可测函数, 并且存在 M > 0和 0 < α < 1, 使得 ({ , ( ) }) , α λ λ M m x ∈ E f x > < λ > 0. 证明 f 在 E 上 L 可积. 56. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数, α > 0. 证明 ( ) 0 a.e.. 1 f nx → nα 提示: 先证明 ( ) . 1 1 1 ∫ ∑ ∞ = < +∞ R n f nx dx nα 57. 设 (X , A) 和 (Y, B) 是两个可测空间, f 是 X 到 Y 的映射. 使得对任意 B ∈B, 都有 ∈ A − ( ) 1 f B (称 f 是(X , A) 到(Y, B) 的可测映射). 又设若 µ 是(X , A) 上的测度. 证明: (i).(逆像测度)集函数 = ∈B − (B) ( f (B)), B 1 ν µ 是(Y, B) 上的测度(称之为 µ 关于 f 的逆像测度). (ii).(积分的变量代换公式) 若 g 是(Y, B) 上的可测函数, 则成立 ( ) . ∫ ∫ = X Y g f dµ gdν 上式表示当等式一边的积分存在时, 等式另一边的积分也存在, 并且两边相等. 提示: 先对 B g = I 是特征函数证明. 58. 设{ }n f 是可测函数列. 称{ }n f 是一致可积的, 若