第四章重积分 (,5,x ∑AE/( lm∑Axln|∑/,)y m∑4∫f(,y地jf(xy地 (x) ∫∫(x,yht a y() 若重极限mf(x,y)存在,又有一个累次极限的内层极限,如 imf(x,y)=o()存在, 则累次极限 lm lim f(x,y)=lmo()存在,且与重极限相同。 以上推导证明,归纳起有如下定理 定理设D是R2中的一个有界闭域,函数f(x,y)在D上连续, 且D可用联立不等式D y(x)sy≤y(x) 表示,其中y(x)y2(x)∈C[ab,则有 f(x, yida (3f(x,y)d称为f(x,y)在D上先对y后对x的累次积分 证明由于f(x,y)∈C(D),jf(x,y)da存在,在以上的证明中: 重极限=m∑f(,5kA△ak im∑∑/ 等于累次极限 的条件:v2l(/5.)y)在”成立, 因而定理正确。 *等式m∑/()4=lm∑∑/,5xAy 成立有待证明:因为含积分区域D边界的那些AσA,并不能用 第二节重积分的计算第四章 重积分 第二节 重积分的计算 =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , =   ( ) → = =   →           n i n j i i j j y x x f y 1 1 0 0 lim  , =   ( ) = =  →  →                   n i n j i j j y i x x f y 1 1 0 0 lim lim  , = ( ) ( ) ( )   =  →          n i y y i i x i i x f y dy 1 0 2 1 lim ,    = ( ) ( ) ( )           b a y x y x f x y dy dx 2 1 , = ( ) ( ) ( )   b a y x y x f x y dydx 2 1 , 若重极限 f (x y) y y x x lim , 0 0 → → 存在, 又有一个累次极限的内层极限，如 f (x y) (y) x x = → lim , 0 存在, 则累次极限 f (x y) (y) y y x x y y  0 0 0 lim lim , lim → → → = 存在, 且与重极限相同。 以上推导证明，归纳起有如下定理. 定理 设 D 是 2 R 中的一个有界闭域，函数 f (x, y) 在 D 上连续， 且 D 可用联立不等式        ( ) ( ) : 1 2 y x y y x a x b D 表示，其中 ( ), ( ) [ , ] 1 2 y x y x C a b ，则有  D f (x, y)d   = b a y x y x f x y dy dx ( ) ( ) 2 1 [ ( , ) ] ,   b a y x y x f x y dy dx ( ) ( ) 2 1 [ ( , ) ] 称为 f (x, y) 在 D 上先对 y 后对 x 的累次积分. 证明 由于 f (x, y) C(D) ，  D f (x, y)d 存在，在以上的证明中： 重极限  ( ) = → =  N k k k k I f 1 0 lim  ,   * =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , 等于累次极限   ( ) = =  →  →                   n i n j i j j y i x x f y 1 1 0 0 lim lim  , 的条件: “ ( )            =  → n j i j j y i f y 1 0  , lim  , 存在”成立， 因而定理正确。 * 等式  ( ) = →  N k k k k f 1 0 lim  ,   =  ( ) → = =   →   n i n j i j i j y x f x y 1 1 0 0 lim  , 成立有待证明：因为含积分区域 D 边界的那些  k ,并不能用