第四章重积分 Ax.△y,表示.但是,如覆盖边界的那些△O之和的极限为零,即 im∑△a4=0, AGk∩DD≠φ 前面等式在∫连续时成立。lm∑△G4=0这个条件可由D边界 aD是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。 在直角坐标系中,面积元 do=dxdy 这时可写成 f(x, y)dxdy= dx f(r,y)dy 这里的dxdy只能作为一个整体记号来理解,代表直角坐标系下 的面积元 同理若积分域D可用联立不等式 x(y)≤x≤x,(y) 表示时,在可积条件下,二重积分f(x,y) dxdy也可以化为先关于x 后关于y的累次积分,即 f(x, y)dxdy= dyf(x,y)dx x1(y) 对于一般的积分区域D,通过适当增加辅助线的方法,将其分成 些小块D,而每一小块都至少满足上述一种联立不等式,这样一来 利用重积分的对区域可加性就得到了∫∫(x,y)dxd的值 ∫(x,y)bd=∑(x,y)d 例1计算二重积分(x)g(U)d,其中 D=(xy)a≤x≤bc≤y≤d} (x)g()g(炒∫/(x df(x(U=8(∫/(xkh 例2计算二重积分∫y、a2-x2hdhy,其中 (x,y2+y2≤a2a>0 解由于积分域D的联立不等式为 -a≤X≤a 所以 第二节重积分的计算第四章 重积分 第二节 重积分的计算 i j x y 表示. 但是，如覆盖边界的那些  k 之和的极限为零，即： lim 0 0   =    →     D k k , 前面等式在 f 连续时成立。 lim 0 0   =    →     D k k 这个条件可由 D 边界 D 是由有限段逐段光滑曲线构成的条件保证。 在直角坐标系中，面积元 d = dxdy ， 这时可写成  D f (x, y)dxdy   = b a y x y x dx f x y dy ( ) ( ) 2 1 ( , ) 这里的 dxdy 只能作为一个整体记号来理解, 代表直角坐标系下 的面积元。 同理若积分域 D 可用联立不等式        c y d x y x x y D ( ) ( ) : 1 2 表示时，在可积条件下，二重积分  D f (x, y)dxdy 也可以化为先关于 x 后关于 y 的累次积分，即  D f (x, y)dxdy   = d c x y x y dy f x y dx ( ) ( ) 2 1 ( , ) 对于一般的积分区域 D ，通过适当增加辅助线的方法，将其分成 一些小块 i D ，而每一小块都至少满足上述一种联立不等式，这样一来 利用重积分的对区域可加性就得到了  D f (x, y)dxdy 的值   = D i Di f (x, y)dxdy f (x, y)dxdy 例 1 计算二重积分 ( ) ( )   D f x g y dxdy ，其中 D = (x, y) a  x  b,c  y  d 解： ( ) ( )   D f x g y dxdy = ( ) ( )           b a d c f x g y dy dx = ( ) ( )           b a d c f x g y dy dx = ( ) ( )                    b a d c g y dy f x dx . ( ) ( )   b a d c dx f x g y dy = ( ) ( )                    b a d c g y dy f x dx 例 2 计算二重积分  − D y a x dxdy 2 2 2 ，其中 ( , ) , 0 2 2 2 D = x y x + y  a a  解 由于积分域 D 的联立不等式为    − −   − −   2 2 2 2 a x y a x a x a 所以