第四章重积分 a2-x2 ∫ya-xah=h m2--2 (a2-x2)2 显然有: y√a-xd=Ca-x⊥ybh=0 关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论 1)若被积函数f(xy)是关于y的奇函数,即有 f(x-y)=-f(x,y). 而积分域D又关于y是对称的,(域或者说,D分为对称于x轴的 两部分:D1,D2),即有 v(x,y)∈D1→(x,-y)∈D2 则有J/(x,y=-/(xy)o,或(xyo=0 (2)则有:若被积函数f(x,y)是关于y的偶函数,即有 f(x-y)=f(x,y) 而积分域D又关于y是对称的(或者说,D分为对称于x轴的两 部分:D1,D),即有 v(x,y)∈D1→(x-y)∈D2 则有(xy=/(x,ya, 或∫(xyk=2/(xy 例3计算二重积分』e”dd,其中积分 域D由直线y=x,y轴及y=2围成 edod=上ed ye'dy 第二节重积分的计算第四章 重积分 第二节 重积分的计算  −  − − − − = − a a a x a x D y a x dxdy dx y a x dy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −  − − = − = − a a a a a x a x dx y dy a x dx 2 2 2 0 2 2 2 ( ) 3 2 2 2 2 5 45 32 = a . 显然有： 0 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 − = − =  −  − − − a a a x a x D y a x dxdy a x dx y dy 关于奇、偶函数在对称区域内积分的结论: (1) 若被积函数 f (x, y) 是关于 y 的奇函数，即有 f (x,−y) = − f (x, y), 而积分域 D 又关于 y 是对称的, (或者说， D 分为对称于 x 轴的 两部分： 1 2 D ,D )，即有 ( ) ( ) 1 2  x, y D  x,−y D . 则有 ( ) ( )   = − 1 2 , , D D f x y d f x y d , 或 ( , ) = 0  D f x y d ; (2) 则有：若被积函数 f (x, y) 是关于 y 的偶函数，即有 f (x,−y) = f (x, y), 而积分域 D 又关于 y 是对称的(或者说， D 分为对称于 x 轴的两 部分： 1 2 D ,D )，即有 ( ) ( ) 1 2  x, y D  x,−y D . 则有 ( ) ( )   = 1 2 , , D D f x y d f x y d , 或 ( ) ( )   = 1 , 2 , D D f x y d f x y d 例 3 计算二重积分  − D y e dxdy 2 ，其中积分 域 D 由直线 y = x ， y 轴及 y = 2 围成. 解    − − = 2 0 0 2 2 y y D y e dxdy e dy dx = ( ) 4 2 0 1 2 − 2 1 − = −  ye dy e y y 2 y = x y x = y 0 2 x