第四章重积分 例4. 1=小=+小于 (1,D 解:I= dendy 101-23-8 x-e-) 0.5 例5.半径为a的两个 圆柱的轴线垂直相交 试求公共部分的体积 解将两个圆柱的轴线 分别取作oy轴和 轴,交点取作坐标原点 由对称性可知,所求体 积V是两圆柱公共部分 在第一卦限中的部分Ω2 的体积的八倍,而Ω正是一个底为 D=kx,y)x2+y2≤a2,x≥0,y 顶为z=√a2-x2的曲顶柱体,因此Ω的体积是 dxd d x=-a 整个公共部分的体积为=16a3 4-2-3二重积分在极坐标系下 的计算 极坐标系下的面积元素 do=pdpde ∫x= PCos p=peQ∠0=a I=f(, do= 』(cos.,Sm)o D(p,0) 第二节重积分的计算第四章 重积分 第二节 重积分的计算 例 4.     = + 1 2 1 2 1 4 1 2 1 y y x y y x y I dy e dx dy e dx 解 :   = 1 2 1 2 x x x y I dx e dy = ( )  − 1 2 1 x x e dx x = 8 2 3 e e − 例 5. 半径为 a 的两个 圆柱的轴线垂直相交， 试求公共部分 的体积 V . 解 将两个圆柱的轴线 分别取作 oy 轴和 oz 轴，交点取作坐标原点. 由对称性可知，所求体 积 V 是两圆柱公共部分 在第一卦限中的部分  的体积的八倍，而  正是一个底为 ( , ) , 0, 0 2 2 2 D = x y x + y  a x  y  ， 顶为 2 2 z = a − x 的曲顶柱体，因此  的体积是    − − = − a a x D a x dxdy dx a x dy 0 0 2 2 2 2 2 2 = ( ) 3 0 2 2 2 3 2 a x dx a a − =  整个公共部分的体积为 3 3 16 V = a 4-2-3 二重积分在极坐标系下 的计算 极坐标系下的面积元素: d =  d d    = =     y Sin x Cos ( )  = D I f x, y d = = ( ) ( )           , , D f Cos Sin d d y 1 (1, 1) y = x 0. 5 y= x 2 0.25 0 0.5 1 x z 2 2 z = a − x 0 a y a x = =2()   D  =1() =  x 0