目录 0-0- 1概率论基础 1 11为什么需要概率空间·····.· 1 1.l.l理发师悖论Barber paradox)· 1 l.l.2贝特朗悖论Bertrand's Paradox) 1 1.1.3非悖论，生日问题 3 12概率空间·········· 3 1.2.1可测空间.... 4 1.2.2概率空间········ 8 12.3条件概率··········。 10 1.2.4全概率公式和Bayes公式 11 13随机变量和分布函数········· 13 1.3.1数字特征 17 1.3.2矩函数(Moment Generating Function) 17 l.3.3特征函数(Characteristic function) 18 1.3.4反演公式及唯一性定理 21 1.3.5 多维随机变量的特征函数 24 1.4独立性与条件期望 25 1.4.1独立性 25 1.4.2条件期望.. 26 1.4.3条件分布 。。。。 27 1.4.4一般条件期望* 31 2随机过程的基本概念与类型 34 2.1随机过程的背景 34 22基本概念..·..·... 34 2.3有限维分布与Kolmogorov定理 36 2.3.1随机过程的数字特征 37 2.4随机过程的基本类型 40 2.4.1平稳过程.·.· 40 2.4.2独立增量过程 41 3 Brown运动（维纳过程） 44 3.1基本概念与性质··. 44 32维纳过程的分布····· 48目录 1 概率论基础 1 1.1 为什么需要概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 理发师悖论 (Barber paradox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 贝特朗悖论 (Bertrand’s Paradox) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.3 非悖论, 生日问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 可测空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 概率空间 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 条件概率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 全概率公式和 Bayes 公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 随机变量和分布函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2 矩函数 (Moment Generating Function) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 特征函数 (Characteristic function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 反演公式及唯一性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.5 多维随机变量的特征函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 独立性与条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 条件期望 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 条件分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.4 一般条件期望 ⋆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 随机过程的基本概念与类型 34 2.1 随机过程的背景 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 有限维分布与 Kolmogorov 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.1 随机过程的数字特征 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 随机过程的基本类型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.1 平稳过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4.2 独立增量过程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Brown 运动（维纳过程） 44 3.1 基本概念与性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 维纳过程的分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48