故存在{x},x→x∈·从而x→x0,由T在x的连续性, T(x2)→7(x),T(x2)→7(x) d(T(x)T(x2)sd(T(x)7(x)+d(T(xo)T(x2)→ 这与d(T(xn),7(x2)≥E0矛盾 3°由1°,f(x)在R中紧,故∫(x)是有界集,记a=supf(x).由上确界定义,存在 xn∈X,f(xn)→a.X紧,故{xn}中有子列{xn},xn→x∈X,所以f(x)→f(x0), (x0)=a.对于下确界同样证明 紧性在很多学科中都会用到,有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很 重要的 例1空间C(2)中的相对紧集 设(2,d)是紧度量空间,C(g2)是Ω2上定义的标量值连续函数全体.定义 l x=sup x(o) vx∈C() 容易验证,‖x有确定的意义(即有限实数),‖‖是C(2)上的范数并且C(2)是 Banach 空间. C(2)的子集K称为是等度连续的函数族,若VE>0,存在δ=()>0使得12∈g, d(1,l2)<d,则 Ix(1-x(t2)kE vx∈K 定理5( Arzela- Ascoli)KcC()是相对紧集当且仅当K是C(Ω2)中范数有界的等度 连续函数族 证明充分性.由于C(2)的完备性只须证明K完全有界 VE>0,由等度连续性,取δ>0使得当d(t,t)<d时,|x()-x(t)k.g是紧空间 故有有限δ网1…n,使得Ⅵt∈Ω,,d(n1)<δ.此时 x()-x(t1)k (3) 记k={x=(x(1)…,x(tn):x()∈K},K是Φ"中的点集,并且对于每个x∈R,故存在{ } k n x ， x x X nk → 0 ∈ ．从而 0 x x n ′ k → ，由T 在 0 x 的连续性， ( ) ( ) 0 T x T x k n → ， ( ) ( ) 0 T x T x k n ′ → ． ( ( ), ( ′ )) ≤ ( ( ), ( 0 )) + ( ( 0 ), ( ′ )) → 0 k k k k n n n n d T x T x d T x T x d T x T x 这与 0 ( ( ), ( ′ )) ≥ ε k k n n d T x T x 矛盾． 3°由 1°， f (x) 在 R 中紧，故 f (x) 是有界集，记 a sup f (x) x∈X = . 由上确界定义，存在 xn ∈ X ，f (xn ) → a ． X 紧，故 { }n x 中有子列{ } k n x ，x x X nk → 0 ∈ ，所以 ( ) ( ) 0 f x f x nk → ， f (x ) = a 0 ．对于下确界同样证明． 紧性在很多学科中都会用到，有时候知道某空间或其中的某个子集是紧或相对紧的是很 重要的． 例 1 空间C(Ω) 中的相对紧集． 设(Ω,d)是紧度量空间，C(Ω) 是Ω 上定义的标量值连续函数全体．定义 || x || sup | x(t)| t∈Ω = ， ) ∀x∈C(Ω ． （1） 容易验证，|| x ||有确定的意义（即有限实数），|| ⋅ || 是C(Ω) 上的范数并且C(Ω) 是 Banach 空间． C(Ω) 的子集 K 称为是等度连续的函数族，若∀ε > 0 ，存在δ = δ (ε ) > 0使得∀t1 ,t2 ∈Ω ， d(t1 ,t2 ) < δ ，则 | ( ) − ( )|< ε 1 2 x t x t ， ∀x ∈ K ． （2） 定理 5（Arzela-Ascoli） ) K ⊂ C(Ω 是相对紧集当且仅当 K 是C(Ω) 中范数有界的等度 连续函数族． 证明 充分性．由于C(Ω) 的完备性只须证明 K 完全有界． ∀ > ε 0 ，由等度连续性，取δ > 0 使得当 d(t,t′) < δ 时， 3 | ( ) ( ) | ε x t − x t′ < ．Ω 是紧空间， 故有有限δ 网 n t , ,t 1 " ，使得∀t ∈Ω ，∃i ， d(t,ti) < δ ．此时 3 | ( ) ( ) | ε x t − x ti < ． （3） 记 ( ( ), , ( )): ( ) } ~{ ~ K = x = x t1 " x tn x t ∈ K ， K ~ 是 n Φ 中的点集，并且对于每个 x K ~ ~ ∈