是前面一个的子序列.利用对角线方法选取{xn},它是{xn}的子序列,由我们的取法知道, xm}是 Cauchy序列 2°若A不是完全有界的,则存在E0>0,A不具有有限ε0网.换句话说任取x∈A, O(x,5)A,故有x∈AO(x,),又Uo(x,)A,从而有x,…,显然 d(xn,xn)≥50(m≠n),{xn}不包含任何 Cauchy子序列,矛盾 推论2设X是度量空间,AcX (1)A是紧集则A必是相对紧的 A是相对紧的则A必是完全有界的 (2)若A是闭集,则A紧当且仅当A相对紧. (3)若X完备,则A相对紧当且仅当A完全有 (4)整个空间X是紧的当且仅当X完备并且完全有界 推论3设Ac",则以下条件等价 (1)A是有界集 (2)A是完全有界集 (3)A是相对紧集 特别地,在有限维线性赋范空间中A是紧集当且仅当A是有界闭集 证明(3)→(2)→(1)是显然的.(1)→(3)根据 bolzano- Weierstrass定理得 定理4设X,Y是度量空间,其中X紧,T:X→Y是连续映射,则 (1)T(X)是紧集 (2)T在X上一致连续.即VE>0,3δ>0,对于任何x,x’∈X,只要d(x,x)<δ, 则d(T(x),T(x)<E (3)若∫是X上的实值连续函数,则∫在A上可以达到上、下确界 证明1°若yn∈7(X),不妨设yn=T(xn),xn∈X,n≥1.X紧,故存在{xn}, x→x∈X,记y=T(x)·T连续,故y2=7(xn)→7(x)=y∈7(X)·由定理1,T(X 2°若不然,则存在E0>0,xn,x∈X,d(xn,x)<-,但d(T(xn)T(x)≥E0.A紧,是前面一个的子序列．利用对角线方法选取{ } nn x ，它是{ }n x 的子序列，由我们的取法知道， { } nn x 是 Cauchy 序列． 2°若 A 不是完全有界的，则存在 0 ε 0 > ， A 不具有有限 0 ε 网．换句话说任取 x1 ∈ A ， O(x1 ,ε 0 ) ⊃/ A ，故有 \ ( , ) 2 1 0 x ∈ A O x ε ， 又 O xi A i ⊃/ = ( , ) 0 2 1 ∪ ε ，从而有 x3 ," ．显然 0 ( , ) ≥ ε n m d x x (m ≠ n) ，{ }n x 不包含任何 Cauchy 子序列，矛盾． 推论 2 设 X 是度量空间， A ⊂ X ． （1） A 是紧集则 A 必是相对紧的． A 是相对紧的则 A 必是完全有界的． （2）若 A 是闭集，则 A 紧当且仅当 A 相对紧． （3）若 X 完备，则 A 相对紧当且仅当 A 完全有界． （4）整个空间 X 是紧的当且仅当 X 完备并且完全有界． 推论 3 设 n A ⊂Φ ，则以下条件等价： （1） A 是有界集． （2） A 是完全有界集． （3） A 是相对紧集． 特别地，在有限维线性赋范空间中 A 是紧集当且仅当 A 是有界闭集． 证明 （3）⇒ （2）⇒ （1）是显然的．（1）⇒ （3）根据 Bolzano-Weierstrass 定理得 到． 定理 4 设 X ，Y 是度量空间，其中 X 紧，T : X →Y 是连续映射，则 （1）T(X ) 是紧集． （2）T 在 X 上一致连续. 即∀ε > 0 ， ∃δ > 0 ，对于任何 x, x′∈ X ，只要 d(x, x′) < δ ， 则 d(T(x),T(x′)) < ε ． （3）若 f 是 X 上的实值连续函数，则 f 在 A 上可以达到上、下确界． 证明 1° 若 y T(X ) n ∈ ，不妨设 ( ) n n y = T x ， xn ∈ X ， n ≥1． X 紧，故存在{ } k n x ， x x X nk → 0 ∈ ，记 ( ) 0 0 y = T x ．T 连续，故 ( ) ( ) ( ) y T x T x0 y0 T X nk nk = → = ∈ ．由定理 1, ) T(X 紧． 2°若不然，则存在 0 ε 0 > ， xn , xn ′ ∈ X ， n d x x n n 1 ( , ′ ) < ，但 0 ( ( ), ( ′ )) ≥ ε n n d T x T x ． A 紧