微分流形上微分学—流形上的联络 谢锡麟 所以有 VV-N时/D(、+F一rF酬 axp ()-am()+一」 R R 2应用事例 21平行移动 定义21(切向量场沿流形上确定曲线的平行移动).设 7(t):[a,b3t+?(t)∈M 为流形上的光滑曲线.设在曲线起点有切向量X∈TaM,可按如下规则确定曲线终点的切向 量X((b)∈T(b)M: V(X((t)=0∈TM 则称X为沿?(t)的平行移动 计算 ()x((t)=V 0)=述(t) 即有 (7x=0(x()+x dXi (t)+I(t)Xs=0∈R, 则有微分方程组 (t)=-ks(x(t)(t) X(a) i=1 按常微分方程理论,可确定X(t),t∈园a,列,i=1,…,m. 如曲线(t)∈M,满足Vf()i(t)=0,则称(t)为流形M上的测地线即 V()i(t)=V过 a aaj+. k )+过 故有测地线方程 dix dt (1)+÷=0, 3建立路径微分流形上微分学 微分流形上微分学—— 流形上的联络 谢锡麟 所以有 ∇q∇pΦ i ·j − ∇p∇qΦ i ·j = [ ∂Γi ps ∂xq (x) − ∂Γi qs ∂xp (x) + Γ i qkΓ k ps − Γ i pkΓ k qs] Φ s · j + [ ∂Γs qj ∂xp (x) − ∂Γs pj ∂xq (x) + Γ k qjΓ s pk − Γ k pjΓ s qk] Φ i ·s = R i ·sqpΦ s · j − R s · jqpΦ i ·s. 2 应用事例 2.1 平行移动 定义 2.1 (切向量场沿流形上确定曲线的平行移动). 设 γ(t) : [a, b] ∋ t 7→ γ(t) ∈ M 为流形上的光滑曲线. 设在曲线起点有切向量 ◦ X ∈ Tγ(a)M, 可按如下规则确定曲线终点的切向 量 X(γ(b)) ∈ Tγ(b)M: ∇γ˙ (t)X(γ(t)) = 0 ∈ TM, 则称 X 为沿 γ(t) 的平行移动. 计算 ∇γ˙ (t)X(γ(t)) = ∇x˙ k ∂ ∂xk ( Xi ∂ ∂xi ) = ˙x k (t) ( ∇kXi ) ∂ ∂xi = 0, 即有 x˙ k (t)∇kXi = ˙x k (t) ( ∂Xi ∂xk (x(t)) + Γ i ksXs ) = dXi dt (t) + Γ i ksx˙ k (t)Xs = 0 ∈ R, 则有微分方程组    dXi dt (t) = −Γ i ks(x(t)) ˙x k (t)Xs , Xi (a) = ◦ Xi , i = 1, · · · , m. 按常微分方程理论, 可确定 Xi (t), t ∈ [a, b], i = 1, · · · , m. 如曲线 γ(t) ∈ M, 满足 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = 0, 则称 γ(t) 为流形 M 上的测地线. 即 ∇γ˙ (t)γ˙(t) = ∇x˙ i ∂ ∂xi ( x˙ j (t) ∂ ∂xj ) = ˙x i [ ∂x˙ j ∂xi (x) ∂ ∂xj + Γ j ikx˙ k ∂ ∂xj ] = [ x˙ i ∂x˙ j ∂xi (x) + Γ j ikx˙ ix˙ k ] ∂ ∂xj = 0, 故有测地线方程 d 2x j dt 2 (t) + Γ j ikx˙ ix˙ k = 0, j = 1, · · · , m. 3 建立路径 9