四、(12分)判别向量组α=(0,0,2,3),2=(1,2,34),3=(1,2,1,1),a=(1,0,10)是否线 性相关,并求a1,2,a3,a4的一个极大线性无关组 3/21/21 000-2 (6分) 由于向量组α1,α2,ω3,4的秩为3,且等价的阶梯形矩阵前3行的1,2,4列构成的 3阶子式不为0,所以a,2,a4是a,a2,a3,a4的一个极大线性无关组 (6分) 五、(12分)判别下列方程组是否有解,若有解,求出其通解 2x1+x2-x3+x4=1 2x1+x2-x3-X=1 解增广矩阵为 n21-11np1-1 n11/2-1/201/2 B=42-2121000 000 0 (4分) 0000 +1/2x2-1/2x3=12 对应的同解方程为 (2分) 令 (6分) 六、(12分)求下面实二次型的正惯性指数和负惯性指数 f(x1,x2,x)=x12+4x1x2+2x1x+4x2+4x2x+3 解f=(x1+2x2+x)2+2x2 (4分) 1=x1+2x2+x3 = y1-2y2-y3 y2=X2 即{x2=y2 y3=X3 X3=y3 得f=y (2分) 次型的正惯性指数为2,负惯性指数为0 (2分) 七、(14分,每小题7分)证明题 (1)设B是一个mxr矩阵C是一个rxt矩阵,rank(B)=r,证明:如果BC=0,则 C=0 (2)证明:rank(A,B)≤rank(A+rank(B) 证(1)记 由于rank(B=,所以线性方程组BX=0的基础解系含rr=0 个非零解向量,即线性方程组只有零解.如果BC=0,说明C的每一列向量都是BX=0 第2页共3页第 2 页 共 3 页 四、（12 分）判别向量组α1=(0,0,2,3), α2=(1,2,3,4)，α3=(1,2,1,1)，α4=(1,0,1,0)是否线 性相关，并求α1, α2, α3, α4的一个极大线性无关组． 解 0 1 1 1 0 2 2 0 2 3 1 1 3 4 1 0 ~ 1 3/2 1/2 1/2 0 1 1 1 0 0 0 -2 0 0 0 0 （6 分） 由于向量组α1, α2, α3, α4的秩为 3，且等价的阶梯形矩阵前 3 行的 1，2，4 列构成的 3 阶子式不为 0，所以α1, α2, α4是α1, α2, α3, α4的一个极大线性无关组． （6 分） 五、（12 分）判别下列方程组是否有解，若有解，求出其通解． 2x1+x2-x3+x4=1 4x1+2x2-2x3+x4=2 2x1+x2-x3-x4=1 解 增广矩阵为 B= 2 1 -1 1 1 4 2 -2 1 2 2 1 -1 -1 1 ~ 2 1 -1 1 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 -2 0 ~ 1 1/2 -1/2 0 1/2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 （4 分） 对应的同解方程为 x1+1/2x2-1/2x3=1/2 x4=0 （2 分） 令 x2=c1,x3=c2得 x1 x2 x3 x4 = 1/2 0 0 0 +c1 -1/2 1 0 0 c2 1/2 0 1 0 （6 分） 六、（12 分）求下面实二次型的正惯性指数和负惯性指数． f(x1, x2,x3)= x1 2+4x1 x2+2 x1x3+4x2 2+4 x2 x3+3x3 2 解 f=( x1+2x2+x3) 2+2x3 2 （4 分） 令 y1= x1+2x2+x3 y2=x2 y3= x3 即 x1=y1-2y2-y3 x2=y2 x3=y3 （4 分） 得 f=y1 2+2y3 2 （2 分） 二次型的正惯性指数为 2，负惯性指数为 0 （2 分） 七、（14 分，每小题 7 分）证明题 （1）设 B 是一个 mr 矩阵,C 是一个 rt 矩阵，rank(B)=r，证明：如果 BC=0,则 C=0． （2）证明：rank((A,B))≤rank(A)+rank(B)． 证（1）记 X= x1 x2 ┆ xr ，由于 rank(B)=r，所以线性方程组 BX=0 的基础解系含 r-r=0 个非零解向量，即线性方程组只有零解．如果 BC=0,说明 C的每一列向量都是 BX=0