第十二章数项级数 (2n-1)()n 所以 lim s=3.即所给级数收敛,且其和为3 2证明:若级数∑an发散则∑Can也发散(c≠0) 证(反证法)若∑Cn收敛,则由C≠0知 ∑un=∑ 由定理122知∑xn也收敛,与题设矛盾从而当∑un发散时, Cun也发散 3设级数∑an与∑vn都发散试问∑(un+vn)一定发散吗? 又若un与vn(n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论? 解当∑un与∑vn都发散时,∑(un+vn)不一定发散例 ∑n=∑1和∑n=∑(-1)都发散,而∑(an+vn)=0+ 0+…收敛 但当xn与vn(n=1,2,…)都是非负数时,则∑(un+vn)一定发 散,证明如下 由∑un发散知,存在0>0,对任何自然数N,总存在自然数 m(>N)和p0,有 I um,+1 +um+2 从而 1(um+1+tm1)+(nt2+vmn2)+…+(mgt+n+n2)1≥e0 由柯西准则知∑(un+vn)发散 4.证明:若数列{an}收敛于a,则级数∑(an-an+)=a1-a 证由已知lim n=1