第84讲重积分的应用 361 占有区域D的平面薄片面密度为p(x,y),它对位于z轴上(0,0,a)点质量为m的质点 的引力为F-(,)其中.,-mg2-_m「 二aP(2,y)d,G是引力常数,=(x2+y2+a2). (i)空间立体 占有空间区域』体密度为p(x,y,z)的物体,对位于(0,0,a)处质量为m的质点的引力 为F={1F,F,F其中F,=Cm3d,F,=Cmm2y,F.=Cm(=2)d是 引力常数r=[x2+y2+(z-a)2] 例1用二重积分求平面图形的面积,而平面图形是由y accost与二坐标轴围成的闭区域 解平面图形D如图84-1,D选为Y一型区域,则面积 2 =cOS A drd dr=cosydy=[sinyi=1 例2设∑是锥面x=√x2+y2被柱面x2=2x割下的部 分,试求Σ的面积 解二的草图如84-2所示.锥面x=√x2+y2与抛物柱面 图31-1 z2=2x的交线在xOy面的投影为x +y2=2x,z=√x+y2被x2=2x割下的部分恰好在柱面x +y2=2x内,其投影区域为D:x2+y2≤2x,即(x-1)2+y 1≤1,而 1+()+()2 √2,故Σ的面积 图84-2 A=√1+(y+(dy=』ddy=√2积 例3求底半径相等的两个直交圆柱体x2+y2=a2与x+x2=a2所围成的立体的 表面积. 解所求表面积在第一卦限分为两片S和S2,第一片S在 圆柱x2+x2=a2上,第二片Σ2在柱面x2+y2=a2上,这两片 曲面的面积相等所求面积是第一片Σ1的16倍.由立体的对称 性,可计算第一卦限部分的习的面积∑1的草图如84-3所示,它 在xOy面投影区域为D1:x2+y2≤a2,x≥0,y≥0,S1的方程 为z=√a-x. 0,而 ay G)2+(3)2 图84-3 故的面积为