在数理统计学中，习惯上称这个检验问题为“两样本问题”.我们来分别考虑下列几种请况： 1.设根据问题的实际背景，如果我们有理由假定F和F2为具有相同方差的正态分布，即 假定 F1~N(a,o2),F2~N(6,02) 其中a、b和σ2皆未知，-0<a,b<+0,σ2>0，这时检验问题转化为 H0:a=b←→H1:a≠b. (2.2) 在这个假定下，总体分布F1和F2只依赖于三个未知参数a、b和σ2，检验问题(2.1)归结为检验 这些未知参数是否满足(2.2).按$5.1所述这属于“参数型假设检验问题”.这就是$5.2中讨论 的两样本t检验. 2.如果我们对问题的实际背景所知甚少，我们只好认为对F和F2完全未知.在这样宽 广的假定下，我们再不能使用通常的两样本检验.处理这个问题的一种方法是“斯米尔洛 夫”(Smirnov)检验，这将在本章第五节中讨论. 在这一情形下，总体分布F和F2不能用有限个实参数去刻画，因此称为非参数检验问题. 3.现在我们讨论一种中间情况.设X是一种产品在一定生产工艺下的质量指标，而Y是 该产品在另一生产工艺下的质量指标.有理由认为，改变生产工艺不影响产品质量指标的概 率分布，而只能使此分布发生一些平移.也就是说，若以F记X的分布，则Y分布为F(红-)， 这里是一个未知的位置参数.在这个假定下，“X、Y同分布”的假设相当“0=0”，而对立 假设为“0≠0”.因此检验(2.1)归结为检验 H0:8=0←→H1:0≠0. (2.3) (2.3)是一个很重要的假设检验问题.在这一模型中，我们假定F未知，因而比正态模型为广。 另外这一模型又比“斯米尔洛夫检验”中的模型窄一些，因为对后者而言，两分布F和F毫 无关系，而在此F和F之间有F(x)=(x-) 虽然表面上看(2.3)象一个参数检验问题：假设中只涉及0，而它是一个实参数.其实不然 因为总体的分布与F和都有关，而℉的分布未知，因此按非参数统计问题的定义，(23)应视为 非参数检验问题」 一般地，两样本问题(2.1)还有一些具有实际背景的中间情况.例如F2(x)=乃(z/o), 此。>0为未知的刻度参数，分布F也未知.检验问题(21)在此情况下转化为 H0:o=1←→H1:o≠1. (2.4) Vilcoxon两样本秩和检验就是考虑(2.3)的假设检验问题.下面首先给出Vilcoxon两样本 秩和统计量的定义 定义6.3.1设X1,…,Xm,Y1,…,Yn这n+m个值两两不相同，把它们按大小排列，结 果为 Z<Z2<…<ZN,N=m+n, (2.5) 显然，每个Y必为(2.5)中的某一个.若Y=Zr,则Y在合样本X1,…,Xm Yi,·,Yn中的秩为R.而Y,…,Yn的秩和为 W=R1+…+Rn, (2.6) 它称为Wilcoroni两样本秩和统计量.这是Wilcoxon在1945年的一项工作中引进的， 93Ín⁄OÆ•, S.˛°˘áuØKè/¸ØK0. ·Ç5©OƒeA´û¹: 1. ä‚ØK¢Sµ, XJ·Çkndb½F1⁄F2è‰kɔ꩟, = b½ F1 ∼ N(a, σ2 ), F2 ∼ N(b, σ2 ) Ÿ•a!b⁄σ 2ô, −∞ < a, b < +∞, σ2 > 0,˘ûuØK=zè H0 0 : a = b ←→ H0 1 : a 6= b. (2.2) 3˘áb½e, oN©ŸF1⁄F2êù6unáôÎÍa!b⁄σ 2 , uØK(2.1)8(èu ˘ ôÎÍ¥ƒ˜v(2.2). U§5.1§„˘·u/ÎÍ.buØK0. ˘“¥§5.2•?ÿ ¸tu. 2. XJ·ÇÈØK¢Sµ§$, ·Çê–@èÈF1⁄F2ô. 3˘° 2b½e, ·Ç2ÿU¶^œ~¸tu. ?n˘áØKò´ê{¥/dí‚ Å0(Smirnov)u, ˘Ú3Ÿ1 !•?ÿ. 3˘òú/e, oN©ŸF1⁄F2ÿU^kÅá¢ÎÍèx, œd°èöÎÍuØK. 3. y3·Ç?ÿò´•mú¹. X¥ò´¨3ò½)Û²eü˛çI, Y¥ T¨3,ò)Û²eü˛çI. knd@è, UC)Û²ÿKè¨ü˛çIV «©Ÿ, êU¶d©Ÿu)ò ²£. è“¥`, e±FPX©Ÿ, KY ©ŸèF(x − θ), ˘pθ¥òáô†òÎÍ. 3˘áb½e,/X!Y ”©Ÿ0bÉ/θ = 00, È· bè/θ 6= 00. œdu(2.1)8(èu H0 : θ = 0 ←→ H1 : θ 6= 0. (2.3) (2.3)¥òáÈ­ábuØK. 3˘ò.•, ·Çb½Fô, œ '.è2. , ˘ò.q'/dí‚Åu0•.ƒò , œèÈ￾ˆ Û, ¸©ŸF1⁄F2Œ Ã'X, 3dF1⁄F2ÉmkF2(x) = F1(x − θ). è,L°˛w(2.3)ñòáÎÍuØK: b•ê9θ, ߥòá¢ÎÍ. Ÿ¢ÿ,, œèoN©ŸÜF⁄θ—k', F©Ÿô, œdUöÎÍ⁄OØK½¬, (2.3)A¿è öÎÍuØK. òÑ/, ¸ØK(2.1)Ñkò ‰k¢Sµ•mú¹. ~XF2(x) = F1(x/σ), dσ > 0èôè›ÎÍ, ©ŸFèô. uØK(2.1)3dú¹e=zè H∗ 0 : σ = 1 ←→ H∗ 1 : σ 6= 1. (2.4) Wilcoxon¸ù⁄u“¥ƒ(2.3)buØK. e°ƒkâ—Wilcoxon ¸ ù⁄⁄O˛½¬. ½¬6.3.1 X1, · · · , Xm, Y1, · · · , Yn˘n + má丸ÿÉ”, rßÇUå¸, ( Jè Z1 < Z2 < · · · < ZN , N = m + n, (2.5) w,, záYi7è(2.5)•,òá. eYi = ZRi ,KYi3‹X1, · · · , Xm, Y1, · · · , Yn•ùèRi . Y1, · · · , Ynù⁄è W = R1 + · · · + Rn, (2.6) ß°èWilcoxon¸ù⁄⁄O˛. ˘¥Wilcoxon31945còëÛä•⁄?. 9