00 证明记以{01}为状态空间,并以Q= 为转移速率矩阵的连续时间的 Markov链为5, 则由上面的结论可知5首达0的时刻r的分布为P(r>1)=e,这正说明了r~eNp 命题7.21Eang分布(I(k,)分布)是PH分布 证明在k=1时,I(k,1)分布就是指数分布.为了得到一些直观的认识,我们先看k=2情形 我们证明I(2,)分布是以:a=(1,0),Q 为最小表示的PH分布.为此,我们记以 {02}为状态空间,初值50=1,并以Q=0-元为转移速率矩阵的连续时间的 Markov 链为利用 我们得到 (-"n22(e λte n 于是由定理7.18知道5首达0的时刻T的分布为 P(x>0)=(.0k°(1)=0+ 由此得到r的分布密度为e1ox(1),即为(2,)分布从而I(2,元)分布为PH分布 对于一般的k我们记以{0,…k}为状态空间,初值0=1,并以 -入 为转移速率矩阵的连续时间的 Markov链为51利用198 证明 记以{0,1}为状态空间, 并以Q ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - = l l 0 0 为转移速率矩阵的连续时间的 Markov 链为 t x , 则由上面的结论可知, t x 首达 0 的时刻t 的分布为 t P t e l t - ( > ) = . 这正说明了 l t ~ exp . 命题７．２１ Erlang 分布 （ G(k,l).分布）是 PH 分布. 证明 在 k =1时，G(k,l)分布就是指数分布. 为了得到一些直观的认识, 我们先看 k = 2 情形. 我们证明G(2,l) 分布是以: a = (1,0) , ~ Q ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = l l l 0 为最小表示的 PH 分布. 为此, 我们记以 {0,1,2}为状态空间, 初值x0 = 1, 并以 Q ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - = - l l 0 l l 0 为转移速率矩阵的连续时间的 Markov 链为 t x . 利用 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - - n n n n n ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 , 我们得到 e ~ Q t t e l ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - = 1 1 1 ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ × - = - ¥ = - - å t n n t n i e n t e n l l l 0 ! ( ) ( 1) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = - - - t t t e e te l l l l 于是由定理７.１８知道 t x 首达 0 的时刻t 的分布为 P(t > t) = (1,0)e ~ Q t ÷ ÷ ø ö ç ç è æ 1 1 t t e l l - = (1+ ) . 由此得到t 的分布密度为 ( ) [0, ) 2 te I t t ¥ -l l , 即为G(2,l) 分布. 从而G(2,l) 分布为 PH 分布. 对于一般的k .我们记以{0,1,L, k}为状态空间, 初值x0 = 1, 并以 Q ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç ç è æ - - - = l l l l l l O O 0 为转移速率矩阵的连续时间的 Markov 链为 t x . 利用