§19.2 Fourier变换 第5页 19.2 Fourier变换 Fourier变换可对空间变量进行.根据空间变量的变化区间,可以选用 ★ Fourier变换对于无界区间(-∞,∞)上的函数f(x),如果在任意有限区间上只有有限个 极大极小和有限个第一类间断点,且 积分/f(x)dx绝对收敛,则它的 Fourier变换存在 F(k) f(a) dr, 而逆变换(反演)是 F(k) dk 这里的Fomr变換和逆变换的形式可能和读者熟悉的形式略有不同.形式更加对 称,更多地为物理学家所采用 ★正弦变换和余弦变换如果f(x)是定义在半无界区间[0,∞)上,则可根据x=0端边界条 件的不同类型,选用正弦变换 ()=V()如hbd F(k)sin k rdk 或余弦变换 F(k) f(a)cos krde f(x)= F(l)cos k rdk. ★有限正弦、余弦变换如果∫(x)是定义在有界区间上,则应釆用有限正弦或余弦变换 本节介绍无界空间上的 Fourier变换 为了将 Fourier变换应用于求解偏微分方程定解问题,必然涉及函数的 阶导数 的 Fourier变换.设∫(x)的 ourier变换存在,并且引进记号 F(k) f(are dr= 3f(ar) 于是, =f(x) 一ik工 x§19.2 Fourier C† 1 5  §19.2 Fourier C† FourierC†ŒémCþ?1©ŠâmCþCz«m§Œ±À^ F FourierC† éuÃ.«m(−∞, ∞)þ¼êf(x)§XJ3?¿k«mþkk‡ 4Œ4Úk‡1amä:§… È© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§K§FourierC†3§ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx, _C†(‡ü)´ f(x) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k)eikxdk. ùpFourierC†Ú_C†/ªŒUÚÖöÙG/ªÑkØÓ©/ª\é ¡§õ/ÔnÆ[¤æ^© F uC†Ú{uC† XJf(x)´½Â3ŒÃ.«m[0, ∞)þ§KŒŠâx = 0à>.^ ‡ØÓa.§À^uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) sin kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) sin kxdk, ½{uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) cos kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) cos kxdk.. F ku!{uC† XJf(x)´½Â3k.«mþ§KAæ^ku½{uC†© !0Ã.mþFourierC†©  òFourierC†A^u¦) ‡©§½)¯K§7,9¼ê!ê FourierC†©f(x)FourierC†3§¿…Ú?PÒ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = F[f(x)], u´§ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = 1 √ 2π f(x)e−ikx ¯ ¯ ¯ ∞ −∞ + ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx,