(x,y)≠(xy)都有f(x,y)<f(x02y) 故当y=y0,x≠x时,有f(x,y)<f(x0,y), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值 必有 ∫2(x0,%)=0 类似地可证f(x0,y)=0 推广如果三元函数u=f(x,y,z)在点P(x0,y2=0)具有偏导数,则它在 P(x0,y,=0)有极值的必要条件为 f(x0,y,-0)=0,J(x0,y0,-0)=0,f(x0,y,-)=0 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点. 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数二=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件)设函数二=∫(x,y)在点(xy)的某邻域内连续,有一阶及 二阶连续偏导数,又∫(x0,y)=0,f(x0,y)=0,令f(x02y)=A, f(ro, yo)=B, (o, yo)=C 则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值,当A<0时有极大值,当A>0时有极小值 (2)AC-B2<0时没有极值 (3)AC-B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论 例4求由方程x2+y2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z=f(x,y)的极值 解将方程两边分别对x,y求偏导 2x+2z·′-2-4-′=0 2y+2x1+2-4=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(1,-1)3 (x, y)  ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y)  ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ， 0 x  x 时，有 f (x, y0 )  ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在 0 x = x 处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0 ; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0 . 推 广 如果 三 元函 数 u = f (x, y,z) 在 点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具 有 偏 导 数， 则 它 在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0 ， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0 . 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点. 注意：驻点 极值点 例如, 点 (0,0) 是函数 z = xy 的驻点，但不是极值点. 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续，有一阶及 二阶连续偏导数，又 f x (x0 , y0 ) = 0 , f y (x0 , y0 ) = 0 ，令 f xx (x0 , y0 ) = A ， f xy (x0 , y0 ) = B ， f yy (x0 , y0 ) = C ， 则 f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B  时具有极值， 当 A  0 时有极大值， 当 A  0 时有极小值； （2） 0 2 AC − B  时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论． 例 4 求由方程 x y z 2x 2y 2 2 2 + + − + −4z −10 = 0 确定的函数 z = f (x, y) 的极值 解 将方程两边分别对 x, y 求偏导    +   + −  = +   − −  = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为 P(1,−1)