初等代数研究 第五章不等式 一、不等式的橱念 不等式—两个解析式A(x,以，.，)，B(x,y,.,)用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x,y,.,)≤B(xy,.,) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理1（传递性）若a>b,b>c,则a>c. 定理2（三歧性）若a>b,a=b,a<b中有且只有一个成立。 定理3若a>b,则a+c>b+c 推论1可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论2若a>b,c>d,则a+c>b+d。 推论3若a≥b,c<d,则a-c>b-d. 定理4若a>b,则当c>0时，ac>bc:当c<0时，ac<bc。 推论1若a>b>0,c>d>0,则ac>bd。 推论2者a26>00<c<d则>行 推论3若a>b>0,整数n>1,则a”>b。 推论4若a>b>0,整数n>1,则a>6。 定理5设a>0,则<a的充要条件是-a<x<a:>a的充要条件是x>a或x<-a。 定理6a+≤4+以，其中等号当且仅当b≥0时成立。 推论1a+b≥d- 推论2a±a±.±an≤a+a+.+a 三、绝对不等式的证明 。用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关健是寻找中间变量C,使A<C<B成立，C在量A与B之间架 起一座桥梁，通过桥梁C的过渡，使A与B之间间接地建立起不等关系。 初等代数研究 1 第五章 不等式 一、不等式的概念 不等式——两个解析式 A(x, y,  ,z), B(x, y,  ,z) 用不等号连接起来的式子称为不等式： A(x, y,  ,z)  B(x, y,  ,z) 不等式可以分为两类：绝对不等式和条件不等式。 当不定元取一切有意义的数值时，不等式恒成立，称之为恒不等式，也称之为绝对不等式。 当一个不等式，只当不定元取某些特殊的数值时才成立，我们称之为条件不等式。 二、不等式基本性质 不等式具有如下的基本性质 定理 1（传递性） 若 a  b,b  c ，则 a  c。 定理 2（三歧性） 若 a  b,a = b,a  b 中有且只有一个成立。 定理 3 若 a  b ，则 a + c  b + c 推论 1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边。 推论 2 若 a  b,c  d ，则 a + c  b + d 。 推论 3 若 a  b,c  d ，则 a −c  b − d 。 定理 4 若 a  b ，则当 c  0 时， ac  bc ；当 c  0 时， ac  bc。 推论 1 若 a  b  0,c  d  0, 则 ac  bd 。 推论 2 若 a  b  0,0  c  d, 则 d b c a  。 推论 3 若 a  b  0 ，整数 n 1 ，则 n n a  b 。 推论 4 若 a  b  0 ，整数 n 1 ，则 n n a  b 。 定理 5 设 a  0 ，则 x  a 的充要条件是 −a  x  a ； x  a 的充要条件是 x  a 或 x  −a 。 定理 6 a + b  a + b ，其中等号当且仅当 ab  0 时成立。 推论 1 a + b  a − b 推论 2 a1  a2  an  a1 + a2 ++ an 三、绝对不等式的证明 ⚫ 用放缩法证明不等式 利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量 C ，使 A  C  B 成立， C 在量 A 与 B 之间架 起一座桥梁，通过桥梁 C 的过渡，使 A 与 B 之间间接地建立起不等关系