初等代数研究 例已知n为正整数，试证： 身》 2 分析 -+}+× 由不等式>+mb>a,a6.mER,得 aa+m 名0骨知 将这个同向不等式相乘得 2n-22n 名2 2n2n+1 -2m+>2m+1 3 4 》西华 2 ·构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例已知a,b∈R,求证： la+bl bl lal 1+a+°1+a1+ 分析 从不等式的结构来看，易构造函数)=中之0)，易证/代在R上是增函数。 因为a+≤al+以，所以fa+帥≤f(d+的。从而有 la+b la+b 1+la+b1+a+ “1+网+闪*1++闪初等代数研究 2 例 已知 n 为正整数，试证： 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 +        −  +       +      + n n  分析 2 1 2 5 6 3 4 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 −  =         −  +       +      = + n n n 令A   由不等式 ( , , , ) +   + +  b a a b m R a m b m a b ，得 n n n n n n n n 2 2 1 2 1 2 , 2 2 2 1 2 3 2 2 , , 6 7 5 6 , 4 5 3 4 +  − − −  − −    将这个同向不等式相乘得 4 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 2 6 7 5 6 4 5 3 4 2 2 1 2 2 2 1 6 7 4 5 2 +  + = +  −       +  − −     n n n n n n A n n n n A   故 2 2 1 2 1 1 1 5 1 1 3 1 1 +        −  +       +      + n n  ，证毕。 ⚫ 构造函数证明不等式 某些不等式从结构上接近某一函数，把某一字母看成自变量构造恰当的函数，利用函数的某些 性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。 例 已知 a,b  R ，求证： b a a b a b a b + + +  + + + 1 1 1 分析 从不等式的结构来看，易构造函数 ( ) ( 0) 1  + = x x x f x ，易证 f (x) 在 + R 上是增函数。 因为 a + b  a + b ，所以 f ( a + b )  f ( a + b) 。从而有 b a a b a b a a b b a b a b a b a b + + +  + + + + + = + + +  + + + 1 1 1 1 1 1