初等代数研究 ·构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例设a∈(0，)，b∈(0，求证： √a2+b2+V0-a+b2+N1-a}+1-b+a2+1-b}≥2√2 分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点A1,0),B(1,I),C(0,1),D0,0)四边形ABCD为正方形，令P点坐标为(a,b),则 PD=Ja2+6,AP=v1-a)+b2 PB=/(1-a)+(1-6).|PCl=Va+(1-b) BD=4C= 由三角形的性质得 IDPl+|BP≥|BD.AP+CP\≥MC 所以，IDP+BP+Ar+lCr≥lBD+AC 即Va2+b2+0-aj}+b2+-a}+1-b}+Va2+1-b}≥25. ●反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例己知f)=x2+x+q,求证：/①/2/6)中至少有一个不小于 分析 此题从正面解决比较困座，可用反证法，假设结论不成立，即//伦/6都小于方，则 l+p+< 1+p+g< 4+2p+< <4+2p+9<2 3<2 l9+3p+4<2 2 <9+3p+9<2 3 1 <p+g<-2 ① 9 2p+g<-② 19 由于0@得-号<2p+< 9 初等代数研究 3 ⚫ 构造几何图形证明不等式 如果说不等式中的抽象的数量关系能用图形表示，利用图形的几何性质即可证明不等式。 例 设 a  (0,1),b  (0,1) ，求证： (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b  分析 从左式四个表达式特征可以看出，它们表示两点间的距离。 故可构造点 A(1,0), B(1,1),C(0,1), D(0,0) 四边形 ABCD 为正方形，令 P 点坐标为 (a,b) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 2 1 1 , 1 , 1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = − + − = + − = + = − + BD AC PB a b PC a b PD a b AP a b 由三角形的性质得 DP + BP  BD , AP + CP  AC 所以， DP + BP + AP + CP  BD + AC 即 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + b + − a + b + − a + −b + a + −b  。 ⚫ 反证法在不等式证明中的应用 反证法是解决数学问题的一种重要方法，在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不 等式，即先否定结论不成立，然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理，逐步导出与定义、 定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论，从而肯定原结论是正确的。 例 已知 f (x) = x + px + q 2 ，求证： f (1), f (2), f (3) 中至少有一个不小于 2 1 。 分析 此题从正面解决比较困难，可用反证法，假设结论不成立，即 f (1), f (2), f (3) 都小于 2 1 ，则 ( ) ( ) ( )          −  + +  −  + +  −  + +            + +  + +  + +               2 1 9 3 2 1 2 1 4 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 9 3 2 1 4 2 2 1 1 2 1 3 2 1 2 2 1 1 p q p q p q p q p q p q f f f          −  +  − −  +  − −  +  − ③ ② ① 2 17 3 2 19 2 7 2 2 9 2 1 2 3 p q p q p q 由于①③得 2 9 2 2 11 −  p + q  −