第90讲线面积分概念题选讲 401 √R2-x2-yda=3R 计算对坐标的曲面积分时可以利用轮换对称性简化计算,对坐标的曲面积分的轮换对 称性是指:①被积表达式具有轮换对称性;②积分曲面及其侧具有轮换对称性(积分曲面 在坐标面上的投影区域相同且配给的符号也相同) 例12计算Ⅰ=42dydz+yddx+ddy,其中r=yx+y+z,2:x2+y +z2=a2,取球面外侧 解由轮换对称性知 6ydzdr=if 2drd 从而=3dxdy,记x为上半球面x=a-x-y,取上侧;x为下半球面z= √a-x-y2,取下侧在xOy面上的投影域均为D,:x2+y2≤a2 I=3(+)=3 do) √a2-x2-y2do d"√a2-rrdr=4x 例13计算曲线积分:=中xds,其中厂为球面x:x2+y2+x2=R与平面r:x+ y+z=0的交线 解在曲线方程中,x,y,处于完全对称的地位,所以中xd5=中yds=中zds 从而I3驴(x2+y2+z2)ds,又因为F在球面Σ上,所以r=1 R2d R2 d 平面x与球面Σ的截痕P x+y+z=0, 恰好是球面上的一个大圆其周长为2xR,于 R3 例14设S:x2+y2+x2=a2(z≥0),S1为S在第一卦限的部分,则有() (A)‖xds=4‖lrdS; (B)‖yds=4lxds (C)‖zds=4lds; (D)ryzds= 4 ryzds 解由对称性zds=41zds,而在S上有dS=yds=zdS,因此应选C