928 工程科学学报，第42卷，第7期 为np,np-1,np-2,…,np-m+1,总计算次数为 principal component analysis and LSSVM optimized by cuckoo mmp-（m2-m)/2.因为m冬n,所以混合核模型的计 search algorithm.J Environ Manage,2016,188:144 [4]Qu Y,Qian X.Song HO,et al.Machine-learning-based model and 算复杂度可表示为O(mp),同理的单核预测模型 simulation analysis of PM2s concentration prediction in Beijing. 计算复杂度为Ok)(k为单核矩阵中抽取的列数) Chin J Eng,2019,41(3):401 本文中p=3,m≤n,k<n,可得0mp)=0n)=0), (曲悦，钱旭，宋洪庆，等.基于机器学习的北京市PM2s浓度预测 所以混合核预测模型与单核预测模型相比，计算 模型及模拟分析.工程科学学报，2019,41(3)：401) 复杂度没有明显增加 [5] Russo A,Raischel F,Lind P G.Air quality prediction using 综上，本文提出的基于图像混合核的列生成 optimal neural networks with stochastic variables.Atmos Environ, 预测模型，在满足预测精度的前提下，获取数据的 2013,79:822 成本更低，获取数据的途径更便捷，计算复杂度与 [6]Li J G,Luo A R,Li X L.Prediction of PM2s mass concentration based on complementary ensemble empirical mode decomposition 单核预测模型相比无明显增加，对进行PM25预测 and support vector regression.J Beijing Univ Technol,2018, 有一定的借鉴意义. 44(12):1494 5结论 (李建更，罗奥荣，李晓理.基于互补集合经验模态分解与支持 向量回归的PM25质量浓度预测.北京工业大学学报，2018 列生成算法是解决多变量线性规划问题的典 44(12):1494) 型方法，核函数可以将非线性数据映射到高维线 [7]Liu C B,Tsow F,Zou Y,et al.Particle pollution estimation based 性空间，本文将核技巧与列生成算法相结合，提出 on image analysis.PloS One,2016,11(2):e0145955 [8]Gu K,Qiao J F,Li X L.Highly efficient picture-based prediction 了一种基于图像混合核的列生成预测模型.通过 of PM2s concentration.IEEE Trans Ind Electron,2019,66(4): 实验得出以下结论： 3176 (I)针对大气PM25预测影响因素复杂、大气 [9]Li X L,Zhang S,Wang K.PM2s air quality prediction based on 污染物浓度数据难以获取等问题，基于图像数据 image quality analysis.J Beijing Uniy Technol,2020,46(2):191 建立模型进行预测是可行的，当选取的图像特征 (李晓理，张山，王康.基于图像质量分析的PM2空气质量预测. 与PM2；密切相关时，能够取得不错的预测效果 北京工业大学学报，2020,46(2)：191) (2)基于图像混合核的列生成预测模型无需 [10]Wang H Q,Sun F C,Cai Y N,et al.On multiple kemel learning 考虑组合参数问题，且能从核矩阵中选择最佳的 methods.Acta Autom Sin,2010,36(8):1037 (汪洪桥，孙富春，蔡艳宁，等.多核学习方法.自动化学报，2010， 列，使模型的解具备稀疏性且预测精度可观. 36(8):1037) (3)混合核模型比普通单核预测模型的预测 [11]Fink M,Desaulniers G.Frey M,et al.Column generation for 误差小、精度高，模型稳定性好，该模型具备良好 vehicle routing problems with multiple synchronization 的预测性能 constraints.Eur JOper Res,2019,272(2):699 (4)本文提出的模型对多雾、降雨和夜间等天 [12]Li H.Statistical Learning Method.Beijing:Tsinghua University 气无法适用，会影响模型预测效果，需要在今后的 Press,2012 工作中将此类特殊天气条件考虑到模型训练中， (李航.统计学习方法.北京：清华大学出版社，2012) [13]Demiriz A,Bennett K P,Shawe-Taylor J.Linear programming 期望得到泛化能力更强、预测精度更高的预测 boosting via column generation.Mach Learn,2002,46(1-3):225 模型 [14]Bi J B,Zhang T,Bennett K P.Column-generation boosting methods for mixture of kemels//Proceedings of the Tenth ACM 参考文献 SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and [1]Zhang X L.Zhao J H.Cai B.Prediction model with dynamic Data Mining.Seattle,2004:521 adjustment for single time series of PM2.s.Acta Automatica Sinica, [15]Vapnik V.The Nature of Statistical Learning Theory.Springer 2018,44(10:1790 Science Business Media,2013 (张熙来，赵俭辉，蔡波，针对PM2单时间序列数据的动态调整 [16]Berman D.Treibitz T,Avidan S.Single image dehazing using 预测模型.自动化学报，2018.44(10)：1790) haze-lines.IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell,2018,42(3): [2]Zhan Y,Luo Y Z,Deng X F,et al.Spatiotemporal prediction of 720 continuous daily PM25.concentrations across China using a [17]Seinfeld J H,Pandis S N.Atmospheric Chemistry and Physics: spatially explicit machine learning algorithm.Atmos Environ, from Air Pollution to Climate Change.John Wiley Sons,2016 2017,155:129 [18]Graves N,Newsam S.Camera-based visibility estimation: [3]Sun W,Sun J Y.Daily PM2s concentration prediction based on Incorporating multiple regions and unlabeled observations.Ecolnp,np−1,np−2,··· ,np−m+1 mnp− ( m 2 −m ) /2 m ≪ n O(nmp) O(nk) k p = 3 m ≪ n k ≪ n O(nmp) = O(nk) = O(n) 为 ， 总 计 算 次 数 为 . 因为 ，所以混合核模型的计 算复杂度可表示为 ，同理的单核预测模型 计算复杂度为 （ 为单核矩阵中抽取的列数）. 本文中 ， ， ，可得 ， 所以混合核预测模型与单核预测模型相比，计算 复杂度没有明显增加. 综上，本文提出的基于图像混合核的列生成 预测模型，在满足预测精度的前提下，获取数据的 成本更低，获取数据的途径更便捷，计算复杂度与 单核预测模型相比无明显增加，对进行 PM2.5 预测 有一定的借鉴意义. 5    结论 列生成算法是解决多变量线性规划问题的典 型方法，核函数可以将非线性数据映射到高维线 性空间，本文将核技巧与列生成算法相结合，提出 了一种基于图像混合核的列生成预测模型. 通过 实验得出以下结论： （1）针对大气 PM2.5 预测影响因素复杂、大气 污染物浓度数据难以获取等问题，基于图像数据 建立模型进行预测是可行的，当选取的图像特征 与 PM2.5 密切相关时，能够取得不错的预测效果. （2）基于图像混合核的列生成预测模型无需 考虑组合参数问题，且能从核矩阵中选择最佳的 列，使模型的解具备稀疏性且预测精度可观. （3）混合核模型比普通单核预测模型的预测 误差小、精度高，模型稳定性好，该模型具备良好 的预测性能. （4）本文提出的模型对多雾、降雨和夜间等天 气无法适用，会影响模型预测效果，需要在今后的 工作中将此类特殊天气条件考虑到模型训练中， 期望得到泛化能力更强、预测精度更高的预测 模型. 参    考    文    献 Zhang  X  L,  Zhao  J  H,  Cai  B.  Prediction  model  with  dynamic adjustment for single time series of PM2.5. Acta Automatica Sinica, 2018, 44（10）: 1790 （张熙来, 赵俭辉, 蔡波. 针对PM2.5单时间序列数据的动态调整 预测模型. 自动化学报, 2018, 44（10）：1790） [1] Zhan Y, Luo Y Z, Deng X F, et al. Spatiotemporal prediction of continuous  daily  PM2.5,  concentrations  across  China  using  a spatially  explicit  machine  learning  algorithm. Atmos Environ, 2017, 155: 129 [2] [3] Sun  W,  Sun  J  Y.  Daily  PM2.5 concentration  prediction  based  on principal  component  analysis  and  LSSVM  optimized  by  cuckoo search algorithm. J Environ Manage, 2016, 188: 144 Qu Y, Qian X, Song H Q, et al. Machine-learning-based model and simulation  analysis  of  PM2.5 concentration  prediction  in  Beijing. Chin J Eng, 2019, 41（3）: 401 （曲悦, 钱旭, 宋洪庆, 等. 基于机器学习的北京市PM2.5浓度预测 模型及模拟分析. 工程科学学报, 2019, 41（3）：401） [4] Russo  A,  Raischel  F,  Lind  P  G.  Air  quality  prediction  using optimal neural networks with stochastic variables. Atmos Environ, 2013, 79: 822 [5] Li J G, Luo A R, Li X L. Prediction of PM2.5 mass concentration based on complementary ensemble empirical mode decomposition and  support  vector  regression. J Beijing Univ Technol,  2018, 44（12）: 1494 （李建更, 罗奥荣, 李晓理. 基于互补集合经验模态分解与支持 向量回归的PM2.5质量浓度预测. 北京工业大学学报, 2018, 44（12）：1494） [6] Liu C B, Tsow F, Zou Y, et al. Particle pollution estimation based on image analysis. PloS One, 2016, 11（2）: e0145955 [7] Gu K, Qiao J F, Li X L. Highly efficient picture-based prediction of  PM2.5 concentration. IEEE Trans Ind Electron,  2019,  66（4）: 3176 [8] Li X L, Zhang S, Wang K. PM2.5 air quality prediction based on image quality analysis. J Beijing Univ Technol, 2020, 46（2）: 191 （李晓理, 张山, 王康. 基于图像质量分析的PM2.5空气质量预测. 北京工业大学学报, 2020, 46（2）：191） [9] Wang H Q, Sun F C, Cai Y N, et al. On multiple kernel learning methods. Acta Autom Sin, 2010, 36（8）: 1037 （汪洪桥, 孙富春, 蔡艳宁, 等. 多核学习方法. 自动化学报, 2010, 36（8）：1037） [10] Fink  M,  Desaulniers  G,  Frey  M,  et  al.  Column  generation  for vehicle  routing  problems  with  multiple  synchronization constraints. Eur J Oper Res, 2019, 272（2）: 699 [11] Li  H. Statistical Learning Method.  Beijing:  Tsinghua  University Press, 2012 （李航. 统计学习方法. 北京: 清华大学出版社, 2012） [12] Demiriz  A,  Bennett  K  P,  Shawe-Taylor  J.  Linear  programming boosting via column generation. Mach Learn, 2002, 46（1-3）: 225 [13] Bi  J  B,  Zhang  T,  Bennett  K  P.  Column-generation  boosting methods  for  mixture  of  kernels//Proceedings of the Tenth ACM SIGKDD International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining. Seattle, 2004: 521 [14] Vapnik  V. The Nature of Statistical Learning Theory.  Springer Science & Business Media, 2013 [15] Berman  D,  Treibitz  T,  Avidan  S.  Single  image  dehazing  using haze-lines. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell,  2018,  42（3）: 720 [16] Seinfeld  J  H,  Pandis  S  N.  Atmospheric  Chemistry  and  Physics: from Air Pollution to Climate Change. John Wiley & Sons, 2016 [17] Graves  N,  Newsam  S.  Camera-based  visibility  estimation: Incorporating  multiple  regions  and  unlabeled  observations. Ecol [18] · 928 · 工程科学学报，第 42 卷，第 7 期