经济数学基础 第4章多元函数的微分 第二节批拾朗日乘数法 学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一.通过本节的学习,会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题,尤其是经济分析中较简单的条件极值问题. 二、内容讲解 1.条件极值 在第4课的例2中,给定体积V求用料最省的无盖长方盒,即求S=xy+2xh+2yh 在条件xyh=V下的最小值 2.拉格朗日乘数法 求函数f(x,y,)在条件叭xy)=0下的条件极值,可用如下的拉格朗日乘数 法:令拉格朗日函数F=f(x,y)+0(x,y,z) 求 F=f(x,y,)+λ叭(x,y,=)的(无条件)极值 aF =0,=F F 0 =0(,y,=)=0 解此方程组 问题思考:什么是条件极值问题?常用的解决方法是什么? 答案一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值(或最小值)问题,但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值(或最小值),而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值(或最小值),这个指定区域由条件方程给出.解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例2经济数学基础 第 4 章 多元函数的微分 ——131—— 第二节 拉格朗日乘数法 一、学习目标 拉格朗日乘数法是求解条件极值的有效方法之一．通过本节的学习，会用拉 格朗日乘数法求解条件极值问题，尤其是经济分析中较简单的条件极值问题． 二、内容讲解 1.条件极值 在第 4 课的例 2 中，给定体积 V，求用料最省的无盖长方盒，即求 S=xy+2xh+2yh 在条件 xyh=V 下的最小值． 2.拉格朗日乘数法 求函数 f (x, y,z) 在条件 (x, y,z) = 0 下的条件极值，可用如下的拉格朗日乘数 法：令拉格朗日函数 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 求 F = f (x, y,z) + (x, y,z) 的（无条件）极值： 0, 0, = 0,   =   =   z F y F x F = ( , , ) = 0   x y z F   解此方程组． 问题思考：什么是条件极值问题？常用的解决方法是什么？ 答案 一个多元函数的条件极值问题实际上是求该函数的最大值（或最小值）问题，但所 求的并不一定是该函数在整个定义域上的最大值（或最小值），而是求该函数在定义域中的指 定区域上的最大值（或最小值），这个指定区域由条件方程给出．解决条件极值问题常用的方 法是拉格朗日乘数法． 三、例题讲解 用拉格朗日乘数法解上节中的例 2：