f(1)= 从而得到 an =c∑+d)n-1 c(b-1)+d (b-1)2 7.利用幂级数展开,计算 dx 解 lr d=∫(∑x2hnx=∑x2 利用例题1046中得到的结果∑=x,等式两边乘以1,得到 ,两式相减,得到 n=1(2n 24 于是得到 8.(1)应用= arctan+ arctan,计算r的值,要求精确到10-; (2)应用兀= arcsin-,计算π的值,要求精确到10-。 解(1)z=4 arctan+ arctan)=2(-)-/4/11 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设un=2n ,由于u1≈0.00038,因此前面7项之和的小 数部分具有四位有效数字,所以 ≈∑(-1 ≈3.1416 丌=6 arcsin=+∑ (2n-1)!! (2m)!(2n+1) 设 2n-1)!! 由于 ≈00000125,因此前面 7项之和的小数部分具有四位有效数字,所以2 2 ( 1) 1 (1) 1 − = = − ∑ ∞ = b f b n n n 。 从而得到 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c 2 2 ( 1) 1 ( 1) − − + = − ∑ ∞ = b c b d b n d n n 。 7．利用幂级数展开，计算∫ − 1 0 2 1 ln dx x x 。 解 ∫ ∫ ∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = = − 0 1 0 1 2 0 0 1 2 0 2 ( ln ) ln 1 ln n n n n dx x x dx x xdx x x ∑ ∞ = + = − 0 2 (2 1) 1 n n ， 利用例题 10.4.6 中得到的结果 6 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，等式两边乘以 4 1 ，得到 (2 ) 24 1 2 1 2 π ∑ = ∞ n= n ，两式相减，得到 (2 1) 8 1 2 0 2 π = + ∑ ∞ n= n ， 于是得到 1 8 ln 2 1 0 2 π = − − ∫ dx x x 。 8． (1) 应用 4 π = arctan 2 1 + arctan 3 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 ； (2) 应用 6 π = arcsin 2 1 , 计算π的值，要求精确到10 −4 。 解 (1) π = 4( arctan 2 1 + arctan 3 1 ) ∑ ∞ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = − 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n 。 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = 2 −1 2 −1 3 1 2 1 2 1 4 n n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小 数部分具有四位有效数字，所以 u7 0.000038 7 π ≈ ∑ = − − − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 7 1 2 1 2 1 1 3 1 2 1 2 1 4 ( 1) n n n n n ≈3.1416。 (2) π = 6 arcsin 2 1 ∑ ∞ = + ⋅ + − = + 1 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! 2 1 n n n n n 。 设 2 1 2 1 (2 )!!(2 1) (2 1)!! + ⋅ + − = n n n n n u ，由于 ∑ < ∞ n=6 n u ∑ ∞ = + 6 2 1 2 1 13 1 n n ≈ ，因此前面 项之和的小数部分具有四位有效数字，所以 0.0000125 7 7