2) 解(1)令()=上(m,应用逐项求导,得到 n(n+1 f"(1)=∑(-1)”t 于是 f()=ln(1+1),f(1)=Jn(1+)dt=(1+1)n(+1)-t, 从而得到 t"=(1+-)ln(1+t)-1,t∈[-1,] n(n+1) 以 代入,得到 y(-1)n-1 2(x2+4) In<(r+4 ∈(-∞,] in(n+1)2 (x+2 (2)由级数乘法的 Cauchy乘积, In 其中x∈(-1.1) 6.设{a是等差数列,b>1,求级数∑的和 解设an=c+(n-l)d,n=1,2,…,则 d b 首先我们有 ib"b I d。设(以= 「0(x)=21x.上b X =26 b 于是f(x) ,所以（2）∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + 1 1 2 1 1 n n x n " 。 解 (1) 令 1 1 1 ( 1) ( 1) ( ) + ∞ = − ⋅ + − = ∑ n n n t n n f t ，应用逐项求导，得到 t f t t n n n + = − = − ∞ = − ∑ 1 1 "( ) ( 1) 1 1 1 ， 于是 f '(t) = ln(1+ t) ， = ∫ + = t f t t dt 0 ( ) ln(1 ) (1+ t)ln(1+ t) − t ， 从而得到 )ln(1 ) 1 1 (1 ( 1) ( 1) 1 1 ⋅ = + + − + − ∑ ∞ = − t t t n n n n n ，t ∈[−1,1]。 以 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = x x t 代入，得到 1 ( 2) 2( 4) ln ( 2) 2( 4) 2 2 ( 1) ( 1) 2 2 2 2 2 1 1 − − + + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − ∑ ∞ = − x x x x x x n n n n n , x ∈(− ∞,0]。 (2) 由级数乘法的 Cauchy 乘积， ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ + + + ∞ = n n x 1 n 1 2 1 1 " ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=0 n x ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∑ ∞ n=1 n n x − x − x = 1 1 ln 1 1 , 其中 x ∈ (−1,1) 。 6．设{an }是等差数列，b > 1，求级数∑ ∞ n=1 n n b a 的和。 解 设an = c + (n −1)d , n = 1,2,"，则 ∑ = ∞ n=1 n n b a ∑ + ∞ =1 1 n n b c ∑ ∞ = − 2 1 n n b n d 。 首先我们有 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − ∑ = ⋅ ∞ = b b n b b n 。设 2 2 1 ( ) − ∞ = ∑ − = n n n x b n f x ，则 ∫ ∑ ∞ = − = x n n n b x f x dx 0 2 1 ( ) b b x x − = ⋅ 1 1 2 b(b x) x − = ， 于是 2 ( ) 1 ( ) b x f x − = ，所以 6