有三位有效数字,所以 coSx ax ≈ n arctan x dx=∑ (1)x2n dx -xdx= 2n+1 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设u 由于u3≈0.0006,因此前面4项之和的小数部 n 分具有三位有效数字,所以 T2 arctan x (4)∫ d d x ∫2 (-1)2 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设un 由于l4≈0.0004,因此前面4项之和的小数部分 具有三位有效数字,所以 d 4.应用°-在x=0的幂级数展开,证明 n 证 -1)=∑ n (n+1)! 应用逐项求导,得到 =1(n+1) 以x=1代入,即得到 5.求下列函数项级数的和函数 n(n+1)(2-x有三位有效数字，所以 ∫ 1 0 2 cos x d x≈ ∑ = + − 3 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ≈ (3) ∫ 2 1 0 d arctan x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 2 1 0 2 0 d 2 1 ( 1) x x n n n n 2 1 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + ∞ = ⋅ + − = ∑ n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 2 2 1 2 1 (2 1) 1 + ⋅ + = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00016 4 ∫ 2 1 0 d arctan x x x ≈ 2 1 3 0 2 2 1 (2 1) ( 1) + = ⋅ + − ∑ n n n n ≈ (4) ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ∫ +∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 3 3 1 1 d x x x ∫ ∑ +∞ ∞ = − − = 2 1 3 1 ( 1) dx n x n n ∑ ∫ +∞ ∞ − = − = 2 3 1 1 ( 1) dx x n n n ∑ ∞ = − − − − = 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 3 1 (3 1)2 1 − − = n n n u ，由于 ≈ ，因此前面4 项之和的小数部分 具有三位有效数字，所以 4 u 0.00004 ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x ≈∑ = − − − − 4 1 3 1 1 (3 1)2 ( 1) n n n n ≈ 4. 应用 x x e −1在 x = 0 的幂级数展开，证明： ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 证 = − x e x 1 ∑ − = ∞ = 1) ! ( 1 n 0 n n x x ∑ = ∞ = − 1 1 n ! n n x ∑ ∞ n=0 ( +1)! n n x , 应用逐项求导，得到 = − + 2 1 x xe e x x ∑ ∞ = − 1 + 1 n ( 1)! n n nx ， 以 x = 1代入，即得到 ∑ ∞ =1 ( +1)! n n n = 1。 5．求下列函数项级数的和函数 （1）∑ ∞ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + − 1 2 1 2 2 ( 1) ( 1) n n n x x n n ； 5