3) In cos x=In[1-(1-COS x)]=-(1-cos x)-(1-cos r)s I (1-cos x) 2(2 1+x =1+2(x+x2+x3 )=1+(x x+x+x+ 24 =1+x+-x2+-x3+-x++ 3.利用幂级数展开,计算下列积分,要求精确到0.001 sIn x cosx ax arctan x d dx Tx 解(1 (-1) 0(2n+1)! (2n+1)(2n+1) 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值, 设 ,由于u3≈0.0003因此前面4项之和的小数部 (2n+1)!(2n+1) 分具有三位有效数字,所以 x n (2m)! 2n)(4n+1 这是一个 Leibniz级数,其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值 设 由于u3≈0001,因此前面4项之和的小数部分具 (2n)(4n+1)⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + − 3 +" 6 1 1 x x 2 3 6 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" 3 3 6 1 6 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + x − x +" "⎟ +" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + 4 3 6 1 24 1 x x = + + 2 − 4 +" 8 1 2 1 1 x x x 。 (3) ln cos x = − ln[1 (1− cos x)] = − − − − 2 − (1− cos ) 3 −" 3 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos x) x x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 2 − 4 +" 24 1 2 1 x x 2 2 4 24 1 2 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − x − x +" "⎟ −" ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − + 3 2 4 24 1 2 1 3 1 x x = − 2 − 4 − 6 −" 240 7 12 1 2 1 x x x 。 (4) x x − + 1 1 1 2( ) = + x + x 2 + x3 + x 4 +" 1 ( ) = + x + x 2 + x 3 + x 4 +" 2 3 2 ( ) 2 1 − x + x + x +" 2 3 ( ) 2 1 + x + x +" 4 ( ) 24 15 − x +" = + + 2 + 3 + 4 +" 8 3 2 1 2 1 1 x x x x 。 3. 利用幂级数展开，计算下列积分，要求精确到 0.001。 ⑴ ∫ 1 0 d sin x x x ； ⑵ ∫ 1 0 2 cos x d x； ⑶ ∫ 2 1 0 d arctan x x x ； ⑷ ∫ +∞ 2 + 3 1 d x x 。 解 (1) ∫ 1 0 d sin x x x ∫ ∑ ∞ = + − = 1 0 0 2 d (2 1)! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ + − = ∞ = 1 0 2 0 (2 1)! ( 1) x dx n n n n ∑ ∞ = + + − = 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 1)!(2 1) 1 + + = n n un ，由于 ≈ ，因此前面 项之和的小数部 分具有三位有效数字，所以 u3 0.00003 4 ∫ 1 0 d sin x x x ≈ ∑ = + + − 3 0 (2 1)!(2 1) ( 1) n n n n ≈ (2) ∫ 1 0 2 cos x d x ∫ ∑ ∞ = − = 1 0 0 4 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∫ − = ∞ = 1 0 4 0 d (2 )! ( 1) x x n n n n ∑ ∞ = + − = 0 (2 )!(4 1) ( 1) n n n n ， 这是一个 Leibniz 级数，其误差不超过被舍去部分的第一项的绝对值， 设 (2 )!(4 1) 1 + = n n un ，由于u3 ≈0.0001，因此前面4项之和的小数部分具 4